Ranking de Broglie elettrone, protone, fotone

Testo

Tre particelle hanno la stessa energia cinetica:

• A: elettrone
• B: protone
• C: fotone

Ordina le lunghezze d’onda di de Broglie dalla più piccola alla più grande. (Suggerimento: per un fotone $p = E/c$; per particelle non relativistiche $p = \sqrt{2mE_K}$.)

Soluzione

Principio. In tutti i casi $\lambda = h/p$: chi ha impulso maggiore ha $\lambda$ minore. A parità di energia $E$:

• Elettrone e protone (massicci, non relativistici): $p = \sqrt{2 m E}$. A parità di $E$, l’impulso cresce con $\sqrt{m}$. Poiché $m_p \approx 1836\,m_e$, il protone ha $p$ molto maggiore, quindi $\lambda_B < \lambda_A$.
• Fotone (privo di massa): $p = E/c$. Confronto con l’elettrone: $p_\text{fotone}/p_e = (E/c)/\sqrt{2 m_e E} = \sqrt{E/(2 m_e c^2)}$. Per energie tipiche $E \ll m_e c^2 = 511\;\text{keV}$ questo rapporto è $\ll 1$: il fotone ha l’impulso più piccolo, quindi la $\lambda$ più grande.

Mettendo in ordine di impulso: $p_B > p_A > p_C$, dunque

$\ev{\lambda_C > \lambda_A > \lambda_B}$

Il fotone ha la lunghezza d’onda maggiore, il protone la minore.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Lunghezza d’onda di de Broglie · Fotone Competenze: Ragionamento di ranking