Indeterminazione di un proiettile

Testo

Un proiettile di $1\;\text{g}$ viaggia a $300\;\text{m/s}$, con incertezza sulla velocità di $0{,}1\;\text{mm/s}$. Calcola la limitazione quantistica sulla precisione della sua posizione. È rilevante? E per un elettrone con la stessa incertezza relativa di velocità?

Soluzione

Passo 1 — Incertezza sull’impulso del proiettile. $m = 10^{-3}\;\text{kg}$, $\Delta v = 0{,}1\;\text{mm/s} = 10^{-4}\;\text{m/s}$:

$\Delta p = m\,\Delta v = 10^{-3}\cdot 10^{-4} = 10^{-7}\;\text{kg·m/s}$

Passo 2 — Limite di posizione.

$\ev{\Delta x \geq \frac{\hbar}{2\,\Delta p} = \frac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{2\cdot 10^{-7}} \approx 5{,}3\cdot 10^{-28}\;\text{m}}$

È rilevante? No. $5{,}3\cdot 10^{-28}\;\text{m}$ è mille miliardi di miliardi di volte più piccolo di un nucleo ($\sim 10^{-15}\;\text{m}$): del tutto trascurabile. Per un oggetto macroscopico l’indeterminazione quantistica non ha alcun effetto misurabile.

Passo 3 — L’elettrone. Incertezza relativa uguale: $\Delta v/v = 10^{-4}/300 \approx 3{,}3\cdot 10^{-7}$. A parità di velocità ($v = 300\;\text{m/s}$) resta $\Delta v = 10^{-4}\;\text{m/s}$, ma la massa è $\sim 10^{27}$ volte minore:

$\Delta p = m_e\,\Delta v = 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 10^{-4} \approx 9{,}1\cdot 10^{-35}\;\text{kg·m/s}$

$\Delta x \geq \frac{\hbar}{2\,\Delta p} = \frac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-35}} \approx 0{,}6\;\text{m}$

Enormemente rilevante! Per l’elettrone il limite di posizione è macroscopico ($\sim 0{,}6\;\text{m}$): non ha senso parlare di traiettoria definita. La stessa incertezza relativa dà effetti trascurabili per il proiettile e drammatici per l’elettrone, perché $\Delta x \propto 1/m$: è la massa che separa mondo classico e quantistico.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Principio di indeterminazione Oggetti: Proiettile