Problema — Raggi X dal fluoro ionizzato

Testo

Un atomo di fluoro ($Z = 9$) perde uno degli elettroni più interni e un altro elettrone cade dal livello $n = 3$ al livello $n = 2$ per riempire il posto. Sapendo che, per ioni idrogenoidi, i livelli scalano come $E_n^{(Z)} = -Z^2\cdot 13{,}6/n^2$ eV, calcola l’energia del fotone emesso e la sua lunghezza d’onda.

Soluzione

Passo 1 — Livelli idrogenoidi. Per uno ione con una sola carica efficace $Z$ i livelli sono quelli dell’idrogeno moltiplicati per $Z^2$. Con $Z = 9$ si ha $Z^2 = 81$.

$E_3 = -\frac{81\cdot 13{,}6}{3^2} = -\frac{81\cdot 13{,}6}{9} = -122{,}4\;\text{eV}$

$E_2 = -\frac{81\cdot 13{,}6}{2^2} = -\frac{81\cdot 13{,}6}{4} = -275{,}4\;\text{eV}$

Passo 2 — Energia del fotone. Nella transizione $n=3\to n=2$ il fotone emesso porta via la differenza di energia:

$\Delta E = E_3 - E_2 = -122{,}4 - (-275{,}4) = 153\;\text{eV}$

Passo 3 — Lunghezza d’onda. Con la regola pratica $\lambda(\text{nm}) = 1240/E(\text{eV})$:

$\lambda = \frac{1240}{153} \approx 8{,}1\;\text{nm}$

Una lunghezza d’onda di pochi nanometri cade nella banda dei raggi X molli, coerente col nome del fenomeno.

$\ev{\Delta E \approx 153\;\text{eV}, \qquad \lambda \approx 8\;\text{nm}}$

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr · Fotone Competenze: Impostazione simbolica · Conversione di unità