Problema — Fantafisica, ridurre h e il volume atomico

Testo

Uno scrittore di fantascienza propone di rimpicciolire gli oggetti riducendo la costante di Planck $h$. Sapendo che il raggio di Bohr $r_1$ dipende da $h$ come $r_1 \propto h^2$, di quanto bisognerebbe ridurre $h$ (in percentuale) per dimezzare il volume dell’atomo? Commenta perché la proposta resta fantascienza.

Soluzione

Passo 1 — Dal raggio al volume. Il volume atomico scala come il cubo del raggio, e il raggio come $h^2$:

$V \propto r_1^3 \propto (h^2)^3 = h^6$

Passo 2 — Condizione di dimezzamento. Chiamiamo $h'$ la nuova costante. Imporre $V'/V = 1/2$ significa

$\left(\frac{h'}{h}\right)^{6} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{h'}{h} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/6} = 2^{-1/6}$

Passo 3 — Valore numerico.

$\frac{h'}{h} = 2^{-1/6} \approx 0{,}891$

quindi $h$ va ridotta di circa

$\ev{1 - 0{,}891 = 0{,}109 \approx 11\%}$

Commento. Resta fantascienza perché $h$ è una costante universale: non è un parametro che si possa “abbassare” localmente su un oggetto lasciando il resto dell’universo invariato. Cambiare $h$ riscalerebbe simultaneamente tutte le dimensioni atomiche, le energie di legame, le lunghezze d’onda e persino la stabilità della materia e della chimica — l’oggetto “rimpicciolito” non sarebbe più fatto della stessa materia.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica · Impostazione simbolica