Problema — Perché l'atomo non collassa (onda stazionaria)

Testo

Un elettrone in orbita intorno al nucleo, trattato come carica classica accelerata, dovrebbe irraggiare energia e cadere sul nucleo in tempi brevissimi. Perché nella realtà l’atomo è stabile? Argomenta usando la quantizzazione dei livelli e la condizione di onda stazionaria di de Broglie.

Soluzione

Il paradosso classico. Secondo l’elettromagnetismo classico una carica accelerata irraggia onde elettromagnetiche. L’elettrone in orbita circolare è accelerato (accelerazione centripeta), quindi perderebbe energia in modo continuo e cadrebbe sul nucleo a spirale in circa $10^{-11}$ s. La materia sarebbe instabile: contraddizione con l’esistenza stessa degli atomi.

La soluzione ondulatoria. All’elettrone è associata un’onda di de Broglie di lunghezza $\lambda = h/p$. Perché l’onda su un’orbita chiusa non si cancelli per interferenza distruttiva con sé stessa, deve richiudersi in fase: la circonferenza deve contenere un numero intero di lunghezze d’onda.

$n\lambda = 2\pi r, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

Sostituendo $\lambda = h/(mv)$ si ottiene la quantizzazione del momento angolare di Bohr:

$n\,\frac{h}{mv} = 2\pi r \quad\Longrightarrow\quad mvr = n\,\frac{h}{2\pi} = n\hbar$

Perché l’atomo è stabile. Solo i raggi (e quindi le energie) che soddisfano questa condizione danno onde stazionarie: sono gli stati stazionari permessi. In uno stato stazionario l’elettrone non irraggia, esattamente come un’onda stazionaria su una corda non trasporta energia netta. Esiste inoltre uno stato di energia minima (stato fondamentale, $n=1$): sotto di esso non ci sono onde stazionarie possibili, quindi l’elettrone non può “cadere” oltre. L’atomo è stabile perché la natura ondulatoria dell’elettrone impone livelli energetici discreti con un minimo invalicabile.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr · Lunghezza d’onda di de Broglie · Onde stazionarie · Dualismo onda-particella