Problema — de Broglie di un elettrone a 100 V

Testo

Un elettrone viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di $V = 100$ V. Calcola la sua lunghezza d’onda di de Broglie e commenta perché un reticolo cristallino sia in grado di diffrangerlo.

Soluzione

Passo 1 — Energia cinetica acquisita. L’elettrone accelerato da $V = 100$ V guadagna

$K = eV = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 100 = 1{,}6\cdot 10^{-17}\;\text{J}$

(essendo $eV = 100$ eV $\ll m_e c^2 = 511$ keV, il calcolo non relativistico è lecito).

Passo 2 — Quantità di moto. Da $K = p^2/(2m_e)$:

$p = \sqrt{2 m_e K} = \sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-17}} = \sqrt{2{,}92\cdot 10^{-47}} \approx 5{,}4\cdot 10^{-24}\;\text{kg·m/s}$

Passo 3 — Lunghezza d’onda di de Broglie.

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{5{,}4\cdot 10^{-24}} \approx 1{,}2\cdot 10^{-10}\;\text{m}$

$\ev{\lambda \approx 1{,}2\cdot 10^{-10}\;\text{m} = 1{,}2\ \text{Å}}$

Commento. Un reticolo diffrange un’onda solo se il passo reticolare è paragonabile alla lunghezza d’onda. Le distanze interatomiche nei cristalli sono dell’ordine di $10^{-10}$ m, esattamente come $\lambda_\text{dB}$: perciò il cristallo funge da reticolo di diffrazione per gli elettroni (esperimento di Davisson–Germer), prova diretta della natura ondulatoria della materia.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Lunghezza d’onda di de Broglie · Dualismo onda-particella Competenze: Conversione di unità · Impostazione simbolica