Problema — Ranking delle energie dei livelli H

Testo

Ordina, dalla più negativa (più bassa) alla più alta, le energie dei livelli $n = 1, 2, 3, 4$ dell’atomo di idrogeno e spiega perché i livelli si addensano avvicinandosi a zero.

Soluzione

Passo 1 — Calcolo dei livelli. Con $E_n = -13{,}6/n^2$ eV:

$E_1 = -13{,}6, \quad E_2 = -3{,}40, \quad E_3 = -1{,}51, \quad E_4 = -0{,}85\;\text{(eV)}$

Passo 2 — Ordinamento. Dalla più negativa (più bassa) alla più alta:

$\ev{E_1 < E_2 < E_3 < E_4}$

Il livello fondamentale $n=1$ è il più profondo; salendo in $n$ l’energia cresce (diventa meno negativa) verso lo zero.

Passo 3 — Perché si addensano. L’energia va come $-1/n^2$. La spaziatura tra livelli successivi è

$E_{n+1} - E_n = -13{,}6\left(\frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2}\right)$

che diminuisce rapidamente al crescere di $n$: da $n=1$ a $n=2$ il salto è $10{,}2$ eV, da $n=3$ a $n=4$ solo $0{,}66$ eV. Poiché $1/n^2 \to 0$ per $n\to\infty$, infiniti livelli si accumulano appena sotto $E = 0$, che è la soglia di ionizzazione: sopra di essa l’elettrone è libero e le energie diventano continue.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr Competenze: Ragionamento di ranking