Problema — Ricavare h da dati fotoelettrici

Testo

In un effetto fotoelettrico ottieni due dati: $\lambda_1 = 450$ nm dà $V_{a,1} = 0{,}50$ V; $\lambda_2 = 300$ nm dà $V_{a,2} = 1{,}88$ V. Stima la costante di Planck eliminando il lavoro di estrazione $W$ per sottrazione fra le due equazioni di Einstein.

Soluzione

Passo 1 — Equazione di Einstein. L’energia cinetica massima degli elettroni, misurata dal potenziale d’arresto $V_a$, è

$eV_a = h\nu - W = \frac{hc}{\lambda} - W$

Passo 2 — Sistema di due equazioni.

$eV_{a,1} = \frac{hc}{\lambda_1} - W, \qquad eV_{a,2} = \frac{hc}{\lambda_2} - W$

Passo 3 — Sottrazione (elimina $W$).

$e\,(V_{a,2} - V_{a,1}) = hc\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right)$

da cui

$h = \frac{e\,(V_{a,2} - V_{a,1})}{c\left(\dfrac{1}{\lambda_2} - \dfrac{1}{\lambda_1}\right)}$

Passo 4 — Numeri. $V_{a,2} - V_{a,1} = 1{,}88 - 0{,}50 = 1{,}38$ V.

$\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{300\cdot 10^{-9}} - \frac{1}{450\cdot 10^{-9}} = (3{,}33 - 2{,}22)\cdot 10^{6} = 1{,}11\cdot 10^{6}\;\text{m}^{-1}$

$h = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}38}{3{,}0\cdot 10^{8}\cdot 1{,}11\cdot 10^{6}} = \frac{2{,}21\cdot 10^{-19}}{3{,}33\cdot 10^{14}} \approx 6{,}6\cdot 10^{-34}\;\text{J·s}$

$\ev{h \approx 6{,}6\cdot 10^{-34}\;\text{J·s}}$

Coerente col valore noto $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}$ J·s. Nota che la sottrazione elimina il lavoro di estrazione $W$, che dipende dal metallo: la pendenza $h/e$ del grafico $K_\text{max}$ vs $\nu$ è invece universale.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Effetto fotoelettrico · Fotone Competenze: Impostazione simbolica · Conversione di unità