Problema — Indeterminazione dell'elettrone in atomo

Testo

Un elettrone è confinato in un atomo di raggio $a_0 \approx 5\cdot 10^{-11}$ m. Stima la sua quantità di moto minima e la corrispondente energia cinetica. Confronta con l’energia di legame dell’idrogeno ($13{,}6$ eV).

Soluzione

Passo 1 — Indeterminazione di posizione. Confinare l’elettrone entro l’atomo significa $\Delta x \sim a_0 \approx 5\cdot 10^{-11}$ m.

Passo 2 — Quantità di moto minima. Dal principio di indeterminazione $\Delta x\,\Delta p \sim \hbar$:

$\Delta p \sim \frac{\hbar}{a_0} = \frac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{5\cdot 10^{-11}} \approx 2{,}1\cdot 10^{-24}\;\text{kg·m/s}$

Poiché la quantità di moto media è nulla, questa fluttuazione è di fatto la quantità di moto tipica: $p \sim \Delta p$.

Passo 3 — Energia cinetica.

$K \sim \frac{p^2}{2 m_e} = \frac{(2{,}1\cdot 10^{-24})^2}{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}} \approx \frac{4{,}4\cdot 10^{-48}}{1{,}82\cdot 10^{-30}} \approx 2{,}4\cdot 10^{-18}\;\text{J}$

In eV:

$K \approx \frac{2{,}4\cdot 10^{-18}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} \approx 15\;\text{eV}$

$\ev{\Delta p \sim 2\cdot 10^{-24}\;\text{kg·m/s}, \qquad K \sim 15\;\text{eV}}$

Confronto. L’energia stimata ($\sim 15$ eV) è dello stesso ordine dell’energia di legame reale dell’idrogeno ($13{,}6$ eV). Il principio di indeterminazione da solo, senza risolvere l’equazione di Schrödinger, predice correttamente la scala di energia dell’atomo: non è un caso, è la ragione profonda per cui l’atomo ha proprio quelle dimensioni ed energie. Comprimere di più l’elettrone (ridurre $a_0$) aumenterebbe $K$: esiste un raggio ottimale che minimizza l’energia totale, ed è appunto $\sim a_0$.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Principio di indeterminazione · Modello di Bohr Competenze: Stime di Fermi · Impostazione simbolica