Problema — Buca di potenziale infinita

Testo

Un elettrone è confinato in una buca di potenziale infinita di larghezza $L = 0{,}2$ nm. Usando $E_n = n^2 h^2/(8 m L^2)$ calcola l’energia del primo livello ($n = 1$) in eV e commenta il legame con le energie atomiche tipiche.

Soluzione

Passo 1 — Formula dei livelli. Per la buca infinita:

$E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2}$

con $n = 1$, $L = 0{,}2\;\text{nm} = 2\cdot 10^{-10}$ m, $m = m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}$ kg.

Passo 2 — Numeratore e denominatore.

$h^2 = (6{,}63\cdot 10^{-34})^2 \approx 4{,}40\cdot 10^{-67}\;\text{J}^2\text{s}^2$

$8 m L^2 = 8\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot (2\cdot 10^{-10})^2 = 8\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 4\cdot 10^{-20} \approx 2{,}92\cdot 10^{-49}$

Passo 3 — Energia in joule ed eV.

$E_1 = \frac{4{,}40\cdot 10^{-67}}{2{,}92\cdot 10^{-49}} \approx 1{,}51\cdot 10^{-18}\;\text{J} = \frac{1{,}51\cdot 10^{-18}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} \approx 9{,}4\;\text{eV}$

$\ev{E_1 \approx 9{,}4\;\text{eV}}$

Commento. Un elettrone confinato in una regione di dimensione atomica ($\sim 0{,}2$ nm) ha un’energia del livello fondamentale di qualche eV, lo stesso ordine delle energie di legame atomiche (il fondamentale dell’idrogeno è $13{,}6$ eV). Non è una coincidenza: confinare l’elettrone impone, via indeterminazione, una quantità di moto minima e quindi un’energia cinetica di scala elettronvolt. La buca infinita è il modello più semplice che cattura la quantizzazione: sono ammesse solo onde stazionarie con un numero intero di semi-lunghezze d’onda nella larghezza $L$.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Onde stazionarie · Principio di indeterminazione Competenze: Impostazione simbolica · Conversione di unità