Problema — Ampiezza spettrale e vita media

Testo

Un atomo emette un fotone in tempo $\tau \approx 10$ ns (vita media dello stato eccitato). Stima l’ampiezza relativa $\Delta f/f$ della riga emessa attorno a $\lambda = 500$ nm sfruttando l’indeterminazione tempo-energia $\Delta E \sim \hbar/\tau$.

Soluzione

Passo 1 — Indeterminazione tempo-energia. Uno stato che vive un tempo finito $\tau$ non ha energia perfettamente definita:

$\Delta E \sim \frac{\hbar}{\tau} = \frac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{10\cdot 10^{-9}} \approx 1{,}1\cdot 10^{-26}\;\text{J}$

Passo 2 — Energia del fotone.

$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{500}\;\text{eV} \approx 2{,}48\;\text{eV} = 2{,}48\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} \approx 3{,}97\cdot 10^{-19}\;\text{J}$

Passo 3 — Ampiezza relativa. Poiché $E = hf$, l’ampiezza relativa in frequenza uguaglia quella in energia:

$\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta E}{E} = \frac{1{,}1\cdot 10^{-26}}{3{,}97\cdot 10^{-19}} \approx 2{,}7\cdot 10^{-8}$

$\ev{\frac{\Delta f}{f} \approx 2{,}7\cdot 10^{-8}}$

Commento. La riga non è infinitamente sottile: ha una larghezza intrinseca (allargamento naturale) dovuta alla vita finita dello stato. Il valore $\sim 10^{-8}$ è piccolissimo — le righe atomiche sono estremamente nette — ma non nullo. Stati più a lunga vita (grande $\tau$) danno righe più strette, principio alla base della precisione degli orologi atomici; stati a vita breve danno righe larghe.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Principio di indeterminazione · Fotone Competenze: Impostazione simbolica · Conversione di unità