Cesio dopo Chernobyl

Testo

Nell’incidente di Chernobyl del 1986 vennero rilasciati $\sim 70\ \text{kg}$ di cesio-137 ($T_{1/2} = 30{,}2$ anni).

• (a) Stima l’attività totale iniziale rilasciata.
• (b) Stima l’attività residua nel 2024, cioè dopo $38$ anni.
• (c) Dopo quanti anni l’attività scenderebbe a un millesimo del valore iniziale?

Soluzione

Numero di atomi iniziali. La massa molare del $^{137}\text{Cs}$ è $137\ \text{g/mol}$:

$N = \frac{70\,000}{137}\cdot 6{,}022\times 10^{23} \approx 3{,}08\times 10^{26}\ \text{atomi}$

Costante di decadimento. Convertendo il tempo di dimezzamento in secondi ($T_{1/2} = 30{,}2 \times 3{,}156\times 10^{7}\ \text{s} = 9{,}53\times 10^{8}\ \text{s}$):

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{9{,}53\times 10^{8}} \approx 7{,}27\times 10^{-10}\ \text{s}^{-1}$

(a) Attività iniziale. L’attività è $A_0 = \lambda N$:

$A_0 = 7{,}27\times 10^{-10}\cdot 3{,}08\times 10^{26} \approx 2{,}24\times 10^{17}\ \text{Bq} = 224\ \text{PBq}$

(b) Attività nel 2024 (dopo 38 anni). L’attività decade come il numero di atomi, con fattore $2^{-t/T_{1/2}}$:

$A = A_0\, 2^{-38/30{,}2} = A_0\, 2^{-1{,}258} \approx A_0\cdot 0{,}418 \approx 9{,}4\times 10^{16}\ \text{Bq} \approx 94\ \text{PBq}$

(c) Tempo per scendere a un millesimo. Imponendo $A/A_0 = 1/1000$:

$t = T_{1/2}\,\log_2(1000) = 30{,}2\cdot 9{,}97 \approx 301\ \text{anni}$

$\ev{\text{(a) } \approx 2{,}24\times 10^{17}\ \text{Bq } (224\ \text{PBq});\quad \text{(b) } \approx 94\ \text{PBq};\quad \text{(c) } \approx 301\ \text{anni}}$

Refuso nella chiave del libro

La chiave-risposta del libro riporta "$224\ \text{TBq}$" e "$94\ \text{TBq}$": è un errore di unità. Il calcolo dà $A_0 \approx 2{,}24\times 10^{17}\ \text{Bq}$, cioè $224\ \text{PBq}$ (petabecquerel, $10^{15}$), non $224\ \text{TBq}$ (terabecquerel, $10^{12}$). Lo scarto è di un fattore $1000$: le cifre "$224$" e "$94$" sono corrette, ma il prefisso giusto è P, non T.

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo