Decadimento misurato in laboratorio

Testo

Un rivelatore misura l’attività di un campione radioattivo a intervalli regolari, ottenendo la tabella seguente.

$t$ (ore)	$0$	$2$	$4$	$6$	$10$	$20$
$A$ (kBq)	$1200$	$850$	$600$	$425$	$213$	$37{,}5$

• (a) Verifica che i dati seguano una legge di decadimento esponenziale.
• (b) Determina il tempo di dimezzamento $T_{1/2}$ e identifica l’isotopo tra tecnezio-99m ($T_{1/2} \approx 6{,}0\ \text{h}$) e iodio-123 ($T_{1/2} \approx 13\ \text{h}$).

Soluzione

(a) Verifica dell’andamento esponenziale. In un decadimento esponenziale il rapporto tra attività a intervalli di tempo uguali è costante. Calcoliamo il rapporto ogni $2$ ore:

$\frac{850}{1200} \approx 0{,}71;\qquad \frac{600}{850} \approx 0{,}71;\qquad \frac{425}{600} \approx 0{,}71$

Il rapporto è costante ($\approx 0{,}71$ ogni $2$ ore): questo conferma la legge esponenziale $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$.

(b) Tempo di dimezzamento. Da un fattore $0{,}71$ ogni $2$ ore ricaviamo $T_{1/2}$ imponendo $A/A_0 = 0{,}71 = 2^{-2/T_{1/2}}$, ovvero:

$T_{1/2} = \frac{2\,\ln 2}{\ln(1/0{,}71)} = \frac{2\cdot 0{,}693}{0{,}342} \approx 4{,}0\ \text{h}$

Verifica sull’ultimo dato. A $t = 20\ \text{h}$ con $T_{1/2} = 4\ \text{h}$: $A = 1200\cdot 2^{-20/4} = 1200/32 = 37{,}5\ \text{kBq}$, in perfetto accordo con la tabella.

Identificazione. Tra le due opzioni proposte, il valore misurato $\approx 4\ \text{h}$ è più vicino al tecnezio-99m ($6\ \text{h}$) che allo iodio-123 ($13\ \text{h}$). L’isotopo è quindi il tecnezio-99m.

$\ev{T_{1/2}\approx 4\ \text{h}\Rightarrow\text{tecnezio-99m}}$

Nota sui dati

I valori della tabella danno rigorosamente $T_{1/2}\approx 4\ \text{h}$, non $6\ \text{h}$ come indicato nella chiave del libro. I dati numerici sono quindi leggermente incoerenti con il valore nominale del tecnezio-99m ($6\ \text{h}$): pur restando il tecnezio-99m l’isotopo più vicino tra le due opzioni, il tempo di dimezzamento che si estrae dai dati non coincide esattamente con quello tabulato.

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo Competenze: Lettura dei grafici · Uso delle scale logaritmiche