Serie di decadimento padre-figlia

Testo

Un nuclide $A$ (vita media $\tau_A = 1\ \text{ora}$) decade nel nuclide $B$ (vita media $\tau_B = 24\ \text{ore}$), che a sua volta decade nel nuclide stabile $C$. All’istante iniziale $N_A(0) = 10^{12}$, $N_B(0) = 0$, $N_C(0) = 0$.

• (a) A quale istante il numero di nuclei $B$ è massimo?
• (b) Quanto vale $N_B$ in quel massimo?

Soluzione

Costanti di decadimento. Dalle vite medie: $\lambda_A = 1/\tau_A = 1\ \text{h}^{-1}$ e $\lambda_B = 1/\tau_B = 1/24\ \text{h}^{-1}$.

Equazione per $B$ e soluzione di Bateman. Il nuclide $B$ si forma dal decadimento di $A$ e si distrugge decadendo in $C$: $\dot N_B = \lambda_A N_A - \lambda_B N_B$. Con $N_A(t) = N_{A0}e^{-\lambda_A t}$ e $N_B(0)=0$, l’integrazione (equazione lineare del primo ordine) dà la soluzione di Bateman:

$N_B(t) = N_{A0}\,\frac{\lambda_A}{\lambda_A - \lambda_B}\left(e^{-\lambda_B t} - e^{-\lambda_A t}\right)$

(a) Istante del massimo. Il massimo si ha dove $\dot N_B = 0$, cioè quando le due esponenziali hanno derivate che si bilanciano:

$t^\ast = \frac{\ln(\lambda_A/\lambda_B)}{\lambda_A - \lambda_B} = \frac{\ln 24}{1 - 1/24} = \frac{3{,}178}{0{,}958} \approx 3{,}32\ \text{h}$

(b) Valore del massimo. Sostituiamo $t^\ast$ nella soluzione. Il prefattore vale $\lambda_A/(\lambda_A-\lambda_B) = 1/0{,}958 \approx 1{,}043$; le esponenziali valgono $e^{-\lambda_B t^\ast} = e^{-0{,}138} \approx 0{,}871$ ed $e^{-\lambda_A t^\ast} = e^{-3{,}32} \approx 0{,}036$, con differenza $\approx 0{,}835$. Quindi:

$N_{B,\max} = 10^{12}\cdot 1{,}043\cdot 0{,}835 \approx 8{,}7\times 10^{11}$

Commento. Poiché $A$ decade molto più in fretta di $B$ ($\tau_A \ll \tau_B$), quasi tutti i nuclei di $A$ si trasferiscono in $B$ prima che $B$ faccia in tempo a decadere: il massimo di $B$ è vicino al valore iniziale di $A$.

$\ev{\text{(a) } t^\ast\approx 3{,}32\ \text{h};\quad \text{(b) } N_{B,\max}\approx 8{,}7\times 10^{11}}$

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo Metodi: Separazione delle variabili