Dal volume di elio-3 al tempo di accumulo

Testo

Un dispositivo contiene gas elio-3 prodotto dal decadimento $\beta^-$ del trizio. Partendo da $1\ \text{g}$ di trizio ($T_{1/2} = 12{,}3\ \text{anni}$), si misura un volume $V = 2{,}24\ \text{ml}$ di $^{3}\mathrm{He}$ a STP. Sapendo che il volume molare a STP è $22{,}4\ \text{L}$, quanti anni $N$ di accumulo sono trascorsi?

Soluzione

Atomi di elio-3 prodotti. Dal volume misurato ricaviamo le moli di $^{3}\mathrm{He}$:

$n_{\text{He}} = \frac{V}{V_{\text{molare}}} = \frac{2{,}24\cdot 10^{-3}\ \text{L}}{22{,}4\ \text{L}} = 1{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{mol}$

$N_{\text{He}} = n_{\text{He}}\,N_A = 1{,}0\cdot 10^{-4}\cdot 6{,}022\cdot 10^{23} = 6{,}02\cdot 10^{19}\ \text{atomi}$

Atomi di trizio iniziali. La massa molare del trizio è $\approx 3{,}016\ \text{g/mol}$:

$N_0 = \frac{1}{3{,}016}\cdot 6{,}022\cdot 10^{23} \approx 2{,}0\cdot 10^{23}\ \text{atomi}$

Legge di accumulo. L’elio-3 prodotto è pari al trizio decaduto: $N_{\text{He}} = N_0\left(1 - e^{-\lambda t}\right)$. La frazione decaduta è:

$\frac{N_{\text{He}}}{N_0} = \frac{6{,}02\cdot 10^{19}}{2{,}0\cdot 10^{23}} \approx 3{,}0\cdot 10^{-4}$

Essendo la frazione piccolissima, possiamo linearizzare $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t$:

$\lambda t \approx 3{,}0\cdot 10^{-4}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{12{,}3} = 0{,}0564\ \text{anni}^{-1}$

$t = \frac{3{,}0\cdot 10^{-4}}{0{,}0564} \approx 5{,}3\cdot 10^{-3}\ \text{anni}$

$\ev{N \approx 0{,}0053\ \text{anni} \approx 2\ \text{giorni}}$

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo Metodi: Separazione delle variabili