Combustibile di una centrale a fissione

Testo

Una centrale a fissione produce $1\ \text{GW}$ di potenza elettrica con rendimento $\eta = 0{,}33$. Ogni fissione di $^{235}\text{U}$ libera circa $200\ \text{MeV}$. Stima la massa di combustibile fissile consumata in un anno (supponendo la combustione completa del solo $^{235}\text{U}$) e confrontala con la massa di carbone di una centrale equivalente ($\sim 30\ \text{MJ/kg}$).

Fissione indotta di $^{235}\text{U}$: un neutrone innesca la rottura in due frammenti, liberando altri neutroni e circa $200\ \text{MeV}$.

Soluzione

Potenza termica. La potenza elettrica è solo una frazione $\eta$ di quella termica generata dalle fissioni:

$P_{\text{term}} = \frac{P_e}{\eta} = \frac{1\ \text{GW}}{0{,}33} \approx 3{,}0\ \text{GW} = 3{,}0\cdot 10^{9}\ \text{W}$

Energia per fissione. Con $1\ \text{MeV} = 1{,}6\cdot 10^{-13}\ \text{J}$:

$E_{\text{fiss}} = 200\ \text{MeV} = 200\cdot 1{,}6\cdot 10^{-13}\ \text{J} = 3{,}2\cdot 10^{-11}\ \text{J}$

Fissioni al secondo e in un anno.

$n = \frac{P_{\text{term}}}{E_{\text{fiss}}} = \frac{3{,}0\cdot 10^{9}}{3{,}2\cdot 10^{-11}} \approx 9{,}5\cdot 10^{19}\ \text{fissioni/s}$

In un anno ($3{,}156\cdot 10^{7}\ \text{s}$):

$N_{\text{fiss}} = 9{,}5\cdot 10^{19}\cdot 3{,}156\cdot 10^{7} \approx 3{,}0\cdot 10^{27}\ \text{fissioni}$

Massa di $^{235}\text{U}$. Ogni fissione consuma un nucleo; con $N_A = 6{,}022\cdot 10^{23}$ e massa molare $235\ \text{g/mol}$:

$m = \frac{N_{\text{fiss}}}{N_A}\cdot 235\ \text{g} = \frac{3{,}0\cdot 10^{27}}{6{,}022\cdot 10^{23}}\cdot 235\ \text{g} \approx 1{,}17\cdot 10^{6}\ \text{g} \approx \ev{m \approx 1{,}2\cdot 10^{3}\ \text{kg/anno}}$

Circa $1{,}2$ tonnellate di uranio-235 all’anno.

Confronto con il carbone. L’energia termica annua è la stessa:

$E_{\text{anno}} = P_{\text{term}}\cdot t = 3{,}0\cdot 10^{9}\cdot 3{,}156\cdot 10^{7} \approx 9{,}5\cdot 10^{16}\ \text{J}$

$m_{\text{carbone}} = \frac{9{,}5\cdot 10^{16}}{3\cdot 10^{7}\ \text{J/kg}} \approx 3{,}2\cdot 10^{9}\ \text{kg} \approx 3\ \text{milioni di tonnellate}$

Il rapporto è di circa $2{,}7\cdot 10^{6}$ a favore del nucleare: la stessa energia richiede milioni di volte meno combustibile.

$\ev{m \approx 1{,}2\cdot 10^{3}\ \text{kg/anno};\quad \sim 10^{6}\ \text{volte meno del carbone}}$

Refuso nella chiave del libro $\sim 10^{-3}\ \text{kg/anno}$: è un palese refuso per $\sim 10^{3}\ \text{kg/anno}$, dato che il calcolo fornisce $\sim 1200\ \text{kg}$. (Un consumo di un milligrammo all'anno per una centrale da $1\ \text{GW}$ sarebbe fisicamente assurdo.)

La chiave-risposta del libro scrive

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Fissione nucleare Competenze: Stime di Fermi