Lavoro di una forza

I corpi si scambiano energia attraverso le forze con cui interagiscono. Il trasferimento di energia tramite una forza si chiama lavoro: dipende dal modulo della forza, dallo spostamento e dall’angolo tra i due. Qui vediamo la definizione, il significato dei segni e i casi in cui il lavoro è nullo.

• Definizione e formula del lavoro
• Quando il lavoro è nullo
• E se la forza non è costante?

Bodies exchange energy through the forces with which they interact. The transfer of energy via a force is called work: it depends on the magnitude of the force, the displacement, and the angle between the two. Here we look at the definition, the meaning of the signs, and the cases in which the work is zero.

• Definition and formula of work
• When work is zero
• What if the force is not constant?

I corpi si scambiano energia attraverso le forze con cui interagiscono. Il trasferimento di energia tramite una forza ha un nome preciso: si chiama lavoro. Il lavoro è dunque il ponte tra il linguaggio delle forze e quello dell’energia: ogni volta che una forza agisce lungo uno spostamento, dell’energia passa da una parte all’altra, e la quantità di energia trasferita è proprio il lavoro di quella forza.

Principio — Lavoro di una forza costante

$\ev{L = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} = |\vec{F}|\,|\Delta\vec{s}|\,\cos\alpha}$ dove $\alpha$ è l’angolo tra la forza e lo spostamento.

La presenza del $\cos\alpha$ è il cuore della formula: non conta solo l’intensità della forza e la lunghezza dello spostamento, ma anche il loro allineamento. È la componente della forza lungo la direzione del moto a compiere lavoro; la componente perpendicolare non trasferisce energia. Da qui i tre casi possibili, tutti governati dal segno del coseno.

Formula chiave

$L > 0: \text{lavoro motore, la forza tende ad aumentare l'energia cinetica del corpo}$ $L < 0: \text{lavoro resistente, la forza tende a diminuire l'energia cinetica del corpo}$ $L = 0: \text{lavoro nullo, forza} \perp \text{spostamento}$

• Se la forza ha la stessa direzione del moto ($\alpha = 0$, $\cos\alpha = 1$): $L > 0$, il corpo riceve energia da quella forza: il lavoro si dice motore. Esempio: la forza con cui spingi un carrello nel verso in cui si muove.
• Se la forza è opposta al moto ($\alpha = 180^\circ$, $\cos\alpha = -1$): $L < 0$, il corpo cede energia a quella forza: il lavoro si dice resistente. Esempio: l’attrito dinamico su una cassa che scivola.
• Se la forza è perpendicolare al moto ($\alpha = 90^\circ$, $\cos\alpha = 0$): $L = 0$, nessun trasferimento di energia: il lavoro è nullo. Esempi: la reazione vincolare del pavimento su un carrello che avanza in orizzontale, la forza centripeta in un moto circolare uniforme.

Più in generale il lavoro è motore per $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ e resistente per $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Il segno del lavoro non è quindi una convenzione arbitraria, ma racconta la direzione del flusso di energia: positivo quando la forza dà energia al corpo, negativo quando gliela toglie.

▶8.01x Lez. 11 — Lavoro, energia cinetica e potenziale — Walter Lewin

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Bodies exchange energy through the forces with which they interact. The transfer of energy via a force has a precise name: it is called work. Work is thus the bridge between the language of forces and that of energy: whenever a force acts along a displacement, energy passes from one side to the other, and the amount of energy transferred is exactly the work done by that force.

Principle — Work of a constant force

$\ev{L = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} = |\vec{F}|\,|\Delta\vec{s}|\,\cos\alpha}$ where $\alpha$ is the angle between the force and the displacement.

The presence of $\cos\alpha$ is the heart of the formula: what matters is not only the magnitude of the force and the length of the displacement, but also their alignment. It is the component of the force along the direction of motion that does work; the perpendicular component transfers no energy. Hence the three possible cases, all governed by the sign of the cosine.

Key formula

$L > 0: \text{positive work, the force tends to increase the body's kinetic energy}$ $L < 0: \text{negative work, the force tends to decrease the body's kinetic energy}$ $L = 0: \text{zero work, force} \perp \text{displacement}$

• If the force has the same direction as the motion ($\alpha = 0$, $\cos\alpha = 1$): $L > 0$, the body receives energy from that force: the work is called positive (driving, in Italian motore). Example: the force with which you push a trolley in the direction it moves.
• If the force is opposite to the motion ($\alpha = 180^\circ$, $\cos\alpha = -1$): $L < 0$, the body gives up energy to that force: the work is called negative (resistive, in Italian resistente). Example: kinetic friction on a sliding crate.
• If the force is perpendicular to the motion ($\alpha = 90^\circ$, $\cos\alpha = 0$): $L = 0$, no energy transfer: the work is zero. Examples: the normal force of the floor on a trolley moving horizontally, the centripetal force in uniform circular motion.

More generally the work is positive for $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ and negative for $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. The sign of the work is therefore not an arbitrary convention, but tells the direction of the energy flow: positive when the force gives energy to the body, negative when it takes energy away.

▶8.01x Lect 11 — Work, Kinetic and Potential Energy — Walter Lewin

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Un caso particolarmente istruttivo del lavoro è quello in cui vale zero. Accade tutte le volte che la forza è perpendicolare allo spostamento: il fattore $\cos\alpha$ nella formula del lavoro si annulla e, per quanto intensa sia la forza e per quanto lungo lo spostamento, non c’è alcun trasferimento di energia. Alcune forze si trovano quasi sempre in questa condizione.

Attenzione — Quando il lavoro è nullo

La reazione vincolare e la tensione di una fune ancorata a un punto fisso sono sempre perpendicolari al moto del corpo: il loro lavoro è zero. Queste forze non trasferiscono energia, ma deviano la traiettoria.

Se però il vincolo o l’ancoraggio si muovono, la forza può avere una componente lungo il moto e fare lavoro. Esempio: un camion che traina un’auto con una fune.

La lezione da trarre è che “lavoro nullo” non significa “forza inutile”. La reazione normale di un piano e la tensione di una fune che tiene un corpo in moto circolare sono decisive per la dinamica: cambiano la direzione del moto, curvano la traiettoria, impediscono al corpo di sprofondare nel piano. Semplicemente, non ne modificano l’energia cinetica, perché non hanno componente lungo lo spostamento.

L’avvertenza cruciale riguarda il caso in cui il vincolo stesso si muove. La perpendicolarità che azzera il lavoro vale rispetto al moto del punto di applicazione: se quel punto si sposta lungo la direzione della forza — come l’estremo di una fune tirata da un camion in avanzamento — allora la forza acquista una componente lungo il moto e torna a fare lavoro, “passando” energia da un sistema all’altro. È questo che permette al camion di trascinare l’auto: la tensione, non più perpendicolare a uno spostamento immobile, trasferisce energia dal veicolo trainante a quello trainato.

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A particularly instructive case of work is when it is equal to zero. This happens whenever the force is perpendicular to the displacement: the factor $\cos\alpha$ in the work formula vanishes and, however intense the force and however long the displacement, there is no energy transfer at all. Some forces are almost always in this condition.

Warning — When work is zero

The normal reaction and the tension of a string anchored to a fixed point are always perpendicular to the motion of the body: their work is zero. These forces do not transfer energy, but they deflect the trajectory.

If, however, the constraint or the anchor point moves, the force can have a component along the motion and do work. Example: a truck towing a car with a rope.

The lesson to draw is that “zero work” does not mean “useless force”. The normal reaction of a plane and the tension of a string holding a body in circular motion are decisive for the dynamics: they change the direction of the motion, curve the trajectory, prevent the body from sinking into the plane. They simply do not change its kinetic energy, because they have no component along the displacement.

The crucial caveat concerns the case in which the constraint itself moves. The perpendicularity that zeroes out the work applies relative to the motion of the point of application: if that point moves along the direction of the force — like the end of a rope pulled by an advancing truck — then the force gains a component along the motion and goes back to doing work, “passing” energy from one system to another. This is what allows the truck to drag the car along: the tension, no longer perpendicular to a stationary displacement, transfers energy from the towing vehicle to the towed one.

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La formula $L = F\,\Delta s\cos\alpha$ vale quando la forza è costante lungo tutto lo spostamento. Ma molte forze cambiano mentre il corpo si muove: la forza di una molla, per esempio, cresce man mano che la allunghiamo. Come si calcola il lavoro in questi casi? La risposta passa da un grafico.

Forza costante: un rettangolo. Mettiamo sull’asse orizzontale la posizione $x$ e su quello verticale la componente $F$ della forza lungo lo spostamento. Se $F$ è costante, il grafico è un segmento orizzontale e la regione sotto di esso, fra $x_1$ e $x_2$, è un rettangolo di base $\Delta x$ e altezza $F$. La sua area è $F\,\Delta x$: proprio il lavoro. Il lavoro è quindi l’area sotto il grafico $F(x)$, come lo spostamento è l’area sotto il grafico $v(t)$.

Forza variabile: tante strisce sottili. Se $F$ cambia, dividiamo lo spostamento in tanti tratti piccoli. In ciascun tratto la forza cambia pochissimo e possiamo considerarla costante: il lavoro di quel tratto è l’area di una striscia rettangolare sottile. Sommando le strisce otteniamo il lavoro totale, e più sono sottili più la somma coincide con l’area sotto la curva. (In matematica questo procedimento si chiama integrale; qui basta l’idea dell’area.)

Il lavoro come area

Il lavoro di una forza lungo $x$ è l’area sotto il grafico $F(x)$: $L = \text{area sotto } F(x)$ L’area sopra l’asse $x$ conta come positiva, quella sotto come negativa.

L’esempio della molla

Per allungare una molla di costante elastica $k$ bisogna applicare una forza che cresce con l’allungamento $\ell - \ell_0$, dove $\ell$ è la lunghezza della molla e $\ell_0$ la sua lunghezza a riposo:

$F = k(\ell - \ell_0)$

Il grafico di $F$ in funzione di $\ell - \ell_0$ è una retta che parte dall’origine. Allungando la molla da $\ell - \ell_0 = 0$ a un allungamento $\ell - \ell_0$, l’area sotto la retta è un triangolo di base $\ell - \ell_0$ e altezza $k(\ell - \ell_0)$:

$L = \frac{1}{2}\cdot (\ell - \ell_0) \cdot k(\ell - \ell_0)$

$L = \frac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$

È il lavoro della forza che applichiamo noi, tirando lentamente. La forza elastica della molla, $F_{el} = -k(\ell - \ell_0)$, ha verso opposto: il suo grafico sta sotto l’asse e il suo lavoro vale $-\tfrac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$.

Questo lavoro non va perso: resta immagazzinato nella molla deformata. È l’energia potenziale elastica:

$U_{el} = \frac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$

Ecco da dove viene il fattore $\frac{1}{2}$: è il «mezzo» dell’area di un triangolo. Se la forza fosse rimasta sempre uguale al valore finale $k(\ell - \ell_0)$, avremmo avuto un rettangolo, con area doppia.

Esempio svolto — Una molla tirata due volte

Una molla ha costante elastica $k = 200\ \text{N/m}$.

a) Che lavoro dobbiamo fare per allungarla da $\ell - \ell_0 = 0$ a $\ell - \ell_0 = 0{,}10\ \text{m}$?

b) Che lavoro dobbiamo fare per allungarla ancora, da $\ell - \ell_0 = 0{,}10\ \text{m}$ a $\ell - \ell_0 = 0{,}20\ \text{m}$?

Soluzione

a) Con $\ell - \ell_0 = 0{,}10\ \text{m}$ l’area è un triangolo: $L_1 = \frac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$ $L_1 = \frac{1}{2}\cdot 200\ \text{N/m}\cdot (0{,}10\ \text{m})^2$ $L_1 = 1{,}0\ \text{J}$

b) Fra $\ell - \ell_0 = 0{,}10\ \text{m}$ e $\ell - \ell_0 = 0{,}20\ \text{m}$ la forza va da $20\ \text{N}$ a $40\ \text{N}$: l’area è un trapezio. $L_2 = \frac{(20\ \text{N} + 40\ \text{N})}{2}\cdot 0{,}10\ \text{m}$ $L_2 = 3{,}0\ \text{J}$

Controllo: il lavoro totale da $\ell - \ell_0 = 0$ a $\ell - \ell_0 = 0{,}20\ \text{m}$ è $\frac{1}{2}\cdot 200 \cdot 0{,}20^2 = 4{,}0\ \text{J} = L_1 + L_2$.

Il secondo tratto, lungo quanto il primo, richiede il triplo del lavoro: la molla è già tesa e oppone una forza maggiore.

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The formula $L = F\,\Delta s\cos\alpha$ holds when the force is constant along the whole displacement. But many forces change while the body moves: the force of a spring, for instance, grows as we stretch it. How do we compute the work in these cases? The answer goes through a graph.

Constant force: a rectangle. Put the position $x$ on the horizontal axis and the component $F$ of the force along the displacement on the vertical axis. If $F$ is constant, the graph is a horizontal segment and the region below it, between $x_1$ and $x_2$, is a rectangle with base $\Delta x$ and height $F$. Its area is $F\,\Delta x$: exactly the work. Work is therefore the area under the $F(x)$ graph, just as displacement is the area under the $v(t)$ graph.

Variable force: many thin strips. If $F$ changes, split the displacement into many small steps. Within each step the force barely changes and we can treat it as constant: the work of that step is the area of a thin rectangular strip. Adding up the strips gives the total work, and the thinner they are, the closer the sum gets to the area under the curve. (In mathematics this procedure is called an integral; here the idea of area is enough.)

Work as an area

The work of a force along $x$ is the area under the $F(x)$ graph: $L = \text{area under } F(x)$ Area above the $x$ axis counts as positive, area below it as negative.

The spring example

To stretch a spring with spring constant $k$ we must apply a force that grows with the extension $\ell - \ell_0$, where $\ell$ is the length of the spring and $\ell_0$ its rest length:

$F = k(\ell - \ell_0)$

The graph of $F$ as a function of $\ell - \ell_0$ is a straight line through the origin. Stretching the spring from $\ell - \ell_0 = 0$ to an extension $\ell - \ell_0$, the area under the line is a triangle with base $\ell - \ell_0$ and height $k(\ell - \ell_0)$:

$L = \frac{1}{2}\cdot (\ell - \ell_0) \cdot k(\ell - \ell_0)$

$L = \frac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$

This is the work done by the force we apply, pulling slowly. The spring’s elastic force, $F_{el} = -k(\ell - \ell_0)$, points the opposite way: its graph lies below the axis and its work is $-\tfrac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$.

This work is not lost: it stays stored in the deformed spring. It is the elastic potential energy:

$U_{el} = \frac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$

This is where the factor $\frac{1}{2}$ comes from: it is the “half” in the area of a triangle. Had the force always been equal to its final value $k(\ell - \ell_0)$, we would have had a rectangle, with twice the area.

Worked example — A spring stretched twice

A spring has spring constant $k = 200\ \text{N/m}$.

a) How much work must we do to stretch it from $\ell - \ell_0 = 0$ to $\ell - \ell_0 = 0.10\ \text{m}$?

b) How much work must we do to stretch it further, from $\ell - \ell_0 = 0.10\ \text{m}$ to $\ell - \ell_0 = 0.20\ \text{m}$?

Solution

a) With $\ell - \ell_0 = 0.10\ \text{m}$ the area is a triangle: $L_1 = \frac{1}{2}k(\ell - \ell_0)^2$ $L_1 = \frac{1}{2}\cdot 200\ \text{N/m}\cdot (0.10\ \text{m})^2$ $L_1 = 1.0\ \text{J}$

b) Between $\ell - \ell_0 = 0.10\ \text{m}$ and $\ell - \ell_0 = 0.20\ \text{m}$ the force goes from $20\ \text{N}$ to $40\ \text{N}$: the area is a trapezoid. $L_2 = \frac{(20\ \text{N} + 40\ \text{N})}{2}\cdot 0.10\ \text{m}$ $L_2 = 3.0\ \text{J}$

Check: the total work from $\ell - \ell_0 = 0$ to $\ell - \ell_0 = 0.20\ \text{m}$ is $\frac{1}{2}\cdot 200 \cdot 0.20^2 = 4.0\ \text{J} = L_1 + L_2$.

The second step, as long as the first, takes three times the work: the spring is already stretched and pushes back harder.

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