Grandezze fisiche e unità di misura

Una grandezza fisica è tutto ciò che si può misurare: una lunghezza, un tempo, una massa, una temperatura. Misurare significa attribuire a una grandezza un valore numerico insieme a un’unità di misura, e nessuna misura è mai perfettamente esatta. Questa sezione introduce il linguaggio delle misure: le unità del Sistema Internazionale, i prefissi, le conversioni, le cifre significative, la notazione scientifica, la densità e il modo di trattare l’incertezza.

• Che cos’è una grandezza fisica
• Conversione di unità
• Cifre significative e incertezza
• Misure come intervallo
• Notazione scientifica e ordini di grandezza
• Percentuali e incertezza nei sondaggi
• Densità
• Prefissi del Sistema Internazionale

A physical quantity is anything that can be measured: a length, a time, a mass, a temperature. Measuring means assigning a quantity a numerical value together with a unit of measurement, and no measurement is ever perfectly exact. This section introduces the language of measurement: the units of the International System, the prefixes, conversions, significant figures, scientific notation, density, and how to handle uncertainty.

• What is a physical quantity
• Unit conversion
• Significant figures and uncertainty
• Measurements as an interval
• Scientific notation and orders of magnitude
• Percentages and uncertainty in surveys
• Density
• Prefixes of the International System

Una grandezza fisica è tutto ciò che si può misurare: una lunghezza, un intervallo di tempo, una massa, una temperatura. Ciò che distingue una grandezza fisica da una semplice qualità è proprio la possibilità di associarle un numero attraverso una procedura di misura ripetibile.

Ogni grandezza fisica è composta da due parti inseparabili: un valore numerico e un’unità di misura. Il valore da solo non dice nulla — dire “la stanza è lunga 5” è privo di significato finché non si precisa se si tratta di 5 metri, 5 passi o 5 chilometri. Nessuna misura ha senso senza specificare l’unità: l’unità è ciò che fissa il “metro di paragone” rispetto al quale il numero acquista significato.

Principio — Le sette grandezze fondamentali del SI

Il Sistema Internazionale (SI) si basa su sette grandezze fondamentali. Tutte le altre grandezze si derivano da queste.

Grandezza	Simbolo	Unità SI	Simbolo unità
Lunghezza	$\ell$	metro	m
Massa	$m$	chilogrammo	kg
Tempo	$t$	secondo	s
Corrente elettrica	$i$	ampere	A
Temperatura	$T$	kelvin	K
Quantità di sostanza	$n$	mole	mol
Intensità luminosa	$I_v$	candela	cd

Tutte le altre grandezze che incontreremo in fisica sono unità derivate, cioè si ottengono combinando fra loro le sette fondamentali. Alcune tra le più comuni:

• velocità: $[\,\text{m/s}\,]$
• densità: $[\,\text{kg/m}^3\,]$
• accelerazione: $[\,\text{m/s}^2\,]$
• forza: $[\,\text{N}\,] = [\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\,]$
• energia: $[\,\text{J}\,] = [\,\text{N}\cdot\text{m}\,]$
• potenza: $[\,\text{W}\,] = [\,\text{J/s}\,]$

Il fatto che ogni unità derivata si possa esprimere come prodotto di potenze delle unità fondamentali è alla base dell’analisi dimensionale, uno strumento potente per controllare la coerenza delle formule.

Il SI dopo il 2019

Nel 2019 il SI è stato ridefinito in termini di costanti fondamentali della natura — come la velocità della luce $c$, la costante di Planck $h$, la costante di Boltzmann $k_B$, la carica elementare $e$ e il numero di Avogadro $N_A$ — anziché di prototipi materiali (come il vecchio cilindro di platino-iridio che definiva il chilogrammo). Le unità sono così ancorate a quantità immutabili e riproducibili ovunque nell’universo.

▶L'oggetto più sferico del mondo e il kilogrammo campione — Veritasium

▶8.01x Lez. 1 — Potenze di 10, unità, dimensioni — Walter Lewin

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A physical quantity is anything that can be measured: a length, a time interval, a mass, a temperature. What distinguishes a physical quantity from a mere quality is precisely the possibility of associating it with a number through a repeatable measurement procedure.

Every physical quantity is made up of two inseparable parts: a numerical value and a unit of measurement. The value alone says nothing — saying “the room is 5 long” is meaningless until we specify whether it is 5 metres, 5 paces or 5 kilometres. No measurement makes sense without specifying the unit: the unit is what fixes the “yardstick” against which the number acquires meaning.

Principle — The seven base quantities of the SI

The International System of Units (SI) is based on seven base quantities. All other quantities are derived from these.

Quantity	Symbol	SI unit	Unit symbol
Length	$\ell$	metre	m
Mass	$m$	kilogramme	kg
Time	$t$	second	s
Electric current	$i$	ampere	A
Temperature	$T$	kelvin	K
Amount of substance	$n$	mole	mol
Luminous intensity	$I_v$	candela	cd

All the other quantities we shall meet in physics are derived units, obtained by combining the seven base ones. Some of the most common:

• velocity: $[\,\text{m/s}\,]$
• density: $[\,\text{kg/m}^3\,]$
• acceleration: $[\,\text{m/s}^2\,]$
• force: $[\,\text{N}\,] = [\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\,]$
• energy: $[\,\text{J}\,] = [\,\text{N}\cdot\text{m}\,]$
• power: $[\,\text{W}\,] = [\,\text{J/s}\,]$

The fact that every derived unit can be expressed as a product of powers of the base units is the foundation of dimensional analysis, a powerful tool for checking the consistency of formulae.

The SI after 2019

In 2019 the SI was redefined in terms of fundamental constants of nature — such as the speed of light $c$, the Planck constant $h$, the Boltzmann constant $k_B$, the elementary charge $e$ and the Avogadro number $N_A$ — rather than material prototypes (such as the old platinum-iridium cylinder that defined the kilogramme). The units are thus anchored to unchanging quantities, reproducible anywhere in the universe.

▶The World's Roundest Object and the Standard Kilogram — Veritasium

▶8.01x Lect 1 — Powers of 10, Units, Dimensions — Walter Lewin

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Topics: Physical quantities and measurement

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Spesso una stessa grandezza è espressa in unità diverse da quelle che ci servono, e occorre convertire. Per farlo in modo sicuro si usa il metodo dei fattori di conversione: si moltiplica la grandezza per frazioni che valgono $1$ — per esempio $1\;\text{km}/1000\;\text{m} = 1$ — scelte in modo da far cancellare le unità indesiderate e lasciare solo quelle desiderate.

L’idea chiave è che moltiplicare per una frazione uguale a $1$ non cambia il valore fisico della grandezza, ma ne cambia il modo in cui è scritta. Trattando le unità come fattori algebrici che si semplificano al numeratore e al denominatore, il metodo diventa quasi automatico e riduce drasticamente il rischio di errori.

Consideriamo un rubinetto che lascia cadere $30\;\text{cL}$ d’acqua ogni $4\;\text{s}$: quanti litri si riempiono in 3 giorni? Prima conviene convertire tutto in unità coerenti. Il tempo in secondi è

$3\;\text{giorni} = 3\cdot 24\cdot 60\cdot 60\;\text{s} = 259\,200\;\text{s}$

e il volume perso a ogni goccia in litri è

$30\;\text{cL} = 0{,}3\;\text{L}.$

Il rapporto tra volume e tempo è $0{,}3/4 = 0{,}075\;\text{L/s}$. Quindi in 3 giorni si raccoglie

$V = 0{,}075\cdot 259\,200 = 19\,440\;\text{L} \approx 19\;\text{m}^3,$

cioè l’equivalente di uno stanzino di $3\times 3\times 2$ metri pieno d’acqua: un ottimo motivo per non trascurare i rubinetti che perdono.

Formula chiave

$\begin{aligned} 1\;\text{L} &= 1\;\text{dm}^3 \\ 1\;\text{m}^3 &= 1000\;\text{L} \\ 1\;\text{giorno} &= 86\,400\;\text{s} \\ 1\;\text{km/h} &= \frac{1}{3{,}6}\;\text{m/s} \end{aligned}$

Vale la pena memorizzare in particolare l’ultima: per passare da km/h a m/s si divide per $3{,}6$, e viceversa si moltiplica per $3{,}6$. È la conversione più frequente in cinematica.

Generatore di esercizi

Allena la conversione con il generatore casuale qui sotto: scegli il tipo di unità (semplici o composte, con eventuali potenze), la notazione e le cifre significative, genera gli esercizi e prova a risolverli prima di mostrare le soluzioni.

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Conversione di unità Metodi: Metodo dei fattori di conversione

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Often the same quantity is expressed in units different from those we need, and a conversion is required. To do this safely we use the conversion factors method: the quantity is multiplied by fractions equal to $1$ — for example $1\;\text{km}/1000\;\text{m} = 1$ — chosen so as to cancel the unwanted units and leave only the desired ones.

The key idea is that multiplying by a fraction equal to $1$ does not change the physical value of the quantity, but changes the way it is written. By treating units as algebraic factors that simplify in the numerator and denominator, the method becomes almost automatic and drastically reduces the risk of errors.

Consider a tap dripping $30\;\text{cL}$ of water every $4\;\text{s}$: how many litres fill up in 3 days? It is best to first convert everything into consistent units. The time in seconds is

$3\;\text{days} = 3\cdot 24\cdot 60\cdot 60\;\text{s} = 259\,200\;\text{s}$

and the volume lost with each drop, in litres, is

$30\;\text{cL} = 0{,}3\;\text{L}.$

The ratio between volume and time is $0{,}3/4 = 0{,}075\;\text{L/s}$. So in 3 days one collects

$V = 0{,}075\cdot 259\,200 = 19\,440\;\text{L} \approx 19\;\text{m}^3,$

which is the equivalent of a $3\times 3\times 2$ metre closet full of water: a good reason not to overlook a dripping tap.

Key formula

$\begin{aligned} 1\;\text{L} &= 1\;\text{dm}^3 \\ 1\;\text{m}^3 &= 1000\;\text{L} \\ 1\;\text{day} &= 86\,400\;\text{s} \\ 1\;\text{km/h} &= \frac{1}{3{,}6}\;\text{m/s} \end{aligned}$

The last one is especially worth memorising: to go from km/h to m/s you divide by $3{,}6$, and vice versa you multiply by $3{,}6$. It is the most frequent conversion in kinematics.

Exercise generator

Practise conversions with the random generator below: pick the unit type (simple or composite, with optional powers), the notation and the number of significant figures, generate the exercises and try to solve them before revealing the solutions.

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Topics: Physical quantities and measurement Skills: Unit conversion Methods: Conversion factor method

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Nessuna misura in fisica è mai perfettamente esatta: ogni strumento ha una sua sensibilità, cioè la più piccola variazione che riesce ancora a distinguere. Un righello graduato in millimetri non può dire nulla sui centesimi di millimetro; una bilancia da cucina non distingue il grammo dal mezzo grammo. La sensibilità dello strumento fissa quindi un limite naturale alla precisione con cui possiamo conoscere una grandezza.

Quando riportiamo una misura, le cifre che scriviamo comunicano implicitamente quanto ci fidiamo del risultato. Scrivere una cifra in più significa affermare di averla effettivamente misurata: per questo il numero di cifre riportate non è mai arbitrario, ma è esso stesso un’informazione sull’incertezza.

Principio — Regola delle cifre significative

Per contare le cifre significative di un numero ottenuto come risultato di una misura:

1. Si ignorano tutti gli zeri iniziali (quelli tra la virgola e la prima cifra diversa da zero).
2. Tutte le cifre rimanenti sono significative, compresi gli zeri in mezzo e quelli finali.

Contare le cifre significative

Misura	Cifre significative	Commento
$33\,240$	5	tutte le cifre non-zero o intermedie
$0{,}001080$	4	gli zeri iniziali non contano
$3030{,}32$	6	gli zeri interni contano
$0{,}50000$	5	gli zeri finali dopo la virgola contano
$0{,}0505$	3	lo zero interno conta, gli iniziali no
$50{,}00$	4	gli zeri finali contano

Tip

“Se scrivi $2{,}3250$ con lo zero finale, quello zero deve essere stato misurato. Altrimenti non va scritto.”

Un esempio concreto

Supponi di misurare l’altezza di una porta. A occhio: $2{,}3\;\text{m}$ (2 cifre significative, sei sicuro del metro e dei decimetri). Con un metro da muratore: $2{,}325\;\text{m}$ (4 cifre: sicuro fino al millimetro). Con un laser: $2{,}3250\;\text{m}$ (5 cifre: hai davvero misurato anche il decimo di millimetro). Più cifre significative $\Leftrightarrow$ misura più precisa.

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Uso delle cifre significative

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No measurement in physics is ever perfectly exact: every instrument has a sensitivity, i.e. the smallest variation it can still distinguish. A ruler graduated in millimetres can say nothing about hundredths of a millimetre; a kitchen scale cannot tell a gram from half a gram. The sensitivity of the instrument therefore sets a natural limit on the precision with which we can know a quantity.

When we report a measurement, the digits we write implicitly convey how much we trust the result. Writing one extra digit means claiming to have actually measured it: for this reason the number of digits reported is never arbitrary, but is itself a piece of information about the uncertainty.

Principle — Rule of significant figures

To count the significant figures of a number obtained as the result of a measurement:

1. Ignore all leading zeros (those between the decimal point and the first non-zero digit).
2. All remaining digits are significant, including zeros in the middle and trailing ones.

Counting significant figures

Measurement	Significant figures	Comment
$33\,240$	5	all non-zero or intermediate digits
$0{,}001080$	4	leading zeros do not count
$3030{,}32$	6	internal zeros count
$0{,}50000$	5	trailing zeros after the decimal point count
$0{,}0505$	3	the internal zero counts, the leading ones do not
$50{,}00$	4	trailing zeros count

Tip

“If you write $2{,}3250$ with the trailing zero, that zero must have been measured. Otherwise it should not be written.”

A concrete example

Suppose you measure the height of a door. By eye: $2{,}3\;\text{m}$ (2 significant figures, you are sure of the metre and the decimetres). With a mason’s tape measure: $2{,}325\;\text{m}$ (4 figures: sure down to the millimetre). With a laser: $2{,}3250\;\text{m}$ (5 figures: you have really measured even the tenth of a millimetre). More significant figures $\Leftrightarrow$ more precise measurement.

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Topics: Physical quantities and measurement Concepts: Significant figures and uncertainty Skills: Using significant figures

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Un modo trasparente di riportare una misura incerta è scriverla come intervallo. Invece di dichiarare un unico valore, si dichiarano gli estremi entro cui il vero valore è certamente contenuto:

$b = [\,6{,}9\;;\;7{,}2\,]\;\text{cm}$

significa proprio questo — il valore reale della lunghezza $b$ sta da qualche parte fra $6{,}9\;\text{cm}$ e $7{,}2\;\text{cm}$, e non possiamo dire di più.

Equivalentemente si scrive $b = (7{,}1 \pm 0{,}2)\;\text{cm}$: un valore centrale più o meno l’incertezza, arrotondata a una cifra. Le due notazioni dicono quasi la stessa cosa: la prima rende esplicito l’intervallo, la seconda è più compatta e mette in evidenza dove finisce la parte “sicura” della misura e dove comincia quella dubbia (arrotondando l’incertezza per eccesso, l’intervallo si allarga appena, a $[\,6{,}9\;;\;7{,}3\,]\;\text{cm}$). Come si ricavano valore centrale e incertezza è spiegato più sotto, in Errore assoluto, relativo e percentuale.

Il vantaggio della notazione a intervallo è che si presta a un’aritmetica semplice: quando si combinano più misure incerte, si può propagare l’incertezza ragionando direttamente sugli estremi. Un caso tipico è la stima dell’area di una figura irregolare.

Il metodo dei quadretti

Per stimare l’area di una figura irregolare — per esempio una macchia, una foglia, o un cerchio disegnato a mano — si sovrappone una griglia di quadretti di lato noto (diciamo $0{,}5\;\text{cm}$, cioè $0{,}25\;\text{cm}^2$ per quadretto) e si contano:

• i quadretti completamente dentro la figura: diciamo 39;
• quelli almeno parzialmente dentro (compresi i precedenti): diciamo 65.

Soluzione

Allora l’area minima e massima sono $A_\text{min} = 39\cdot 0{,}25 = 9{,}75\;\text{cm}^2 \qquad A_\text{max} = 65\cdot 0{,}25 = 16{,}25\;\text{cm}^2,$ quindi l’area è nota nell’intervallo $[\,9{,}75\;;\;16{,}25\,]\;\text{cm}^2$. Da qui, se la figura è approssimativamente circolare, si ricava anche il raggio da $r = \sqrt{A/\pi}$, che risulta $[\,1{,}76\;;\;2{,}27\,]\;\text{cm}$.

Metodo dei quadretti. Una griglia di lato noto è sovrapposta alla figura: contando i quadretti interamente contenuti e quelli anche solo sfiorati si ottengono l’area minima e massima, cioè un intervallo per l’area.

Errore assoluto, relativo e percentuale

In breve

Se una misura sta nell’intervallo $[\,x_\text{min}\;;\;x_\text{max}\,]$, oppure se ripetendola si ottengono valori tra $x_\text{min}$ e $x_\text{max}$, si scrive $x = \bar{x} \pm \Delta x$

• Valore medio (o valore centrale): $\bar{x}$, la media delle misure; con un intervallo, il suo punto medio $\tfrac12(x_\text{max} + x_\text{min})$.
• Errore assoluto (o incertezza assoluta): $\Delta x$. Per misure ripetute si usa spesso la semidispersione $\Delta x = \tfrac12(x_\text{max} - x_\text{min})$; per una misura singola, la sensibilità dello strumento. Ha la stessa unità della misura.
• Errore relativo: $e_r = \dfrac{\Delta x}{\bar{x}}$. È un numero puro e dice quanto è precisa la misura.
• Errore percentuale: $e_\% = e_r \cdot 100\%$.

Per la lunghezza $b = [\,6{,}9\;;\;7{,}2\,]\;\text{cm}$ di sopra: $\bar{b} = 7{,}05\;\text{cm}$, $\Delta b = 0{,}15\;\text{cm}$, quindi $b = (7{,}05 \pm 0{,}15)\;\text{cm}$ (arrotondando l’incertezza a una cifra, $b = (7{,}1 \pm 0{,}2)\;\text{cm}$). L’errore relativo è $0{,}15/7{,}05 \approx 0{,}021$, cioè circa il $2\%$.

L’errore relativo serve a confrontare misure diverse: $\pm 1\;\text{mm}$ su un foglio di $30\;\text{cm}$ ($0{,}3\%$) è molto meglio di $\pm 1\;\text{mm}$ su una moneta di $2\;\text{cm}$ ($5\%$), anche se l’errore assoluto è lo stesso. E quando si moltiplicano o si dividono due misure, gli errori relativi (in prima approssimazione) si sommano, e per una potenza $x^n$ l’errore relativo si moltiplica per $n$ (per esempio $e_r(x^2) = 2\,e_r(x)$): lo vedi negli esercizi svolti sulla propagazione dell’errore in un prodotto e sull’incertezza relativa in un quoziente.

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Metodi: Metodo dei quadretti

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Incertezza relativa in un quoziente · Esercizio svolto — Propagazione dell’errore in un prodotto · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Esercizio svolto — Cane o gatto: il sondaggio della classe · Problema — Ranking di incertezze relative

A transparent way of reporting an uncertain measurement is to write it as an interval. Instead of stating a single value, the extremes within which the true value is certainly contained are stated:

$b = [\,6.9\;;\;7.2\,]\;\text{cm}$

means exactly this — the real value of the length $b$ lies somewhere between $6.9\;\text{cm}$ and $7.2\;\text{cm}$, and we cannot say more.

Equivalently one writes $b = (7.1 \pm 0.2)\;\text{cm}$: a central value plus or minus the uncertainty, rounded to one digit. The two notations say almost the same thing: the first makes the interval explicit, the second is more compact and highlights where the “safe” part of the measurement ends and the doubtful part begins (rounding the uncertainty up widens the interval slightly, to $[\,6.9\;;\;7.3\,]\;\text{cm}$). How the central value and the uncertainty are obtained is explained below, in Absolute, relative and percentage error.

The advantage of interval notation is that it lends itself to simple arithmetic: when several uncertain measurements are combined, the uncertainty can be propagated by reasoning directly on the extremes. A typical case is the estimate of the area of an irregular figure.

The grid-square method

To estimate the area of an irregular figure — for example a stain, a leaf, or a hand-drawn circle — a grid of squares of known side is overlaid (say $0.5\;\text{cm}$, i.e. $0.25\;\text{cm}^2$ per square) and one counts:

• the squares entirely inside the figure: say 39;
• those at least partly inside (including the previous ones): say 65.

Solution

Then the minimum and maximum areas are $A_\text{min} = 39\cdot 0.25 = 9.75\;\text{cm}^2 \qquad A_\text{max} = 65\cdot 0.25 = 16.25\;\text{cm}^2,$ so the area is known to lie in the interval $[\,9.75\;;\;16.25\,]\;\text{cm}^2$. From here, if the figure is roughly circular, the radius can also be derived from $r = \sqrt{A/\pi}$, giving $[\,1.76\;;\;2.27\,]\;\text{cm}$.

The grid-square method. A grid of known side is overlaid on the figure: by counting the squares entirely contained and those merely touched, one obtains the minimum and maximum area, i.e. an interval for the area.

Absolute, relative and percentage error

In short

If a measurement lies in the interval $[\,x_\text{min}\;;\;x_\text{max}\,]$, or if repeating it gives values between $x_\text{min}$ and $x_\text{max}$, we write $x = \bar{x} \pm \Delta x$

• Mean value (or central value): $\bar{x}$, the mean of the measurements; for an interval, its midpoint $\tfrac12(x_\text{max} + x_\text{min})$.
• Absolute error (or absolute uncertainty): $\Delta x$. For repeated measurements one often uses half the range $\Delta x = \tfrac12(x_\text{max} - x_\text{min})$; for a single measurement, the resolution of the instrument. It has the same unit as the measurement.
• Relative error: $e_r = \dfrac{\Delta x}{\bar{x}}$. It is a pure number and tells you how precise the measurement is.
• Percentage error: $e_\% = e_r \cdot 100\%$.

For the length $b = [\,6.9\;;\;7.2\,]\;\text{cm}$ above: $\bar{b} = 7.05\;\text{cm}$, $\Delta b = 0.15\;\text{cm}$, so $b = (7.05 \pm 0.15)\;\text{cm}$ (rounding the uncertainty to one digit, $b = (7.1 \pm 0.2)\;\text{cm}$). The relative error is $0.15/7.05 \approx 0.021$, about $2\%$.

The relative error is what lets you compare different measurements: $\pm 1\;\text{mm}$ on a $30\;\text{cm}$ sheet ($0.3\%$) is much better than $\pm 1\;\text{mm}$ on a $2\;\text{cm}$ coin ($5\%$), even though the absolute error is the same. And when two measurements are multiplied or divided, their relative errors (to a first approximation) add up, and for a power $x^n$ the relative error is multiplied by $n$ (e.g. $e_r(x^2) = 2\,e_r(x)$): see the worked exercises on error propagation in a product and on the relative uncertainty in a quotient.

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Topics: Physical quantities and measurement Concepts: Significant figures and uncertainty Methods: Grid-counting method

Related exercises: Worked exercise — Relative uncertainty in a quotient · Worked exercise — Error propagation in a product · Worked exercise — Area of a measured rectangle · Worked exercise — Dog or cat: the class survey · Problem — Ranking of relative uncertainties

Per scrivere un numero in notazione scientifica si sposta la virgola finché resta una sola cifra, da $1$ a $9$, davanti a essa, e si conta di quanti posti si è spostata: quel conteggio è l’esponente di $10$, positivo se la virgola è andata a sinistra (numeri grandi) e negativo se è andata a destra (numeri piccoli). Il numero ha allora la forma $a\cdot 10^n$, con $1 \leq a < 10$.

Quando i numeri sono molto grandi o molto piccoli, scriverli per esteso diventa scomodo e soggetto a errori (basta un errore nel contare gli zeri). La notazione scientifica evita proprio questo: ogni numero si scrive nella forma

$a\cdot 10^n \qquad \text{con}\quad 1 \leq a < 10,$

dove $a$ è la mantissa (un numero con una sola cifra prima della virgola) e $n$ è un intero, positivo per i numeri grandi e negativo per quelli piccoli. Qualche esempio dalle scale della natura:

• Massa dell’elettrone: $9{,}1\cdot 10^{-31}\;\text{kg}$
• Raggio del nucleo atomico: $\sim 10^{-15}\;\text{m}$
• Raggio della Terra: $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$
• Distanza Terra-Sole: $1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$
• Massa del Sole: $2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$

Come si scrive un numero in notazione scientifica

La procedura è sempre la stessa, e si fa a mano prima di usare la calcolatrice.

1. Si scrive il numero con la virgola visibile. In $45\,000$ la virgola è dopo l’ultimo zero: $45000{,}$. In $0{,}000307$ è già al suo posto.
2. Si sposta la virgola finché a sinistra resta una sola cifra diversa da zero. Per $45000{,}$ si arriva a $4{,}5000$; per $0{,}000307$ si arriva a $3{,}07$.
3. Si conta di quanti posti si è mossa la virgola. Quattro posti a sinistra per $45\,000$; quattro posti a destra per $0{,}000307$.
4. Il segno dell’esponente è il segno dello spostamento visto dal numero di partenza: virgola verso sinistra, esponente positivo; virgola verso destra, esponente negativo. Si ottiene $4{,}5\cdot 10^{4}$ e $3{,}07\cdot 10^{-4}$. Gli zeri finali che non sono cifre significative non si ricopiano nella mantissa: $45\,000$ scritto senza decimali ha ambiguità, e qui lo trattiamo come $4{,}5\cdot 10^{4}$, due cifre.

Un controllo rapido: $10^{4}$ ingrandisce, $10^{-4}$ rimpicciolisce. Se il numero di partenza era maggiore di $10$, l’esponente deve uscire positivo; se era minore di $1$, negativo.

Due conversioni, passo per passo

$6{,}020\cdot 10^{8}$ non è un numero da convertire: è già in notazione scientifica. Prendiamo invece $602\,000\,000$. La virgola parte da dopo l’ultimo zero e si sposta di otto posti a sinistra, fino a $6{,}02$. Esponente positivo: $6{,}02\cdot 10^{8}$.

Per $0{,}000051$ la virgola si sposta di cinque posti a destra, fino a $5{,}1$. Esponente negativo: $5{,}1\cdot 10^{-5}$.

Ordine di grandezza

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di $10$ più vicina. È un modo rapido di dire “quanto grande” è una quantità, ignorando i dettagli.

La convenzione che usiamo, ed è quella standard del biennio, confronta la mantissa con $\sqrt{10}$. Poiché $10^{0{,}5} = \sqrt{10} \approx 3{,}162$, a metà strada (in scala logaritmica) fra $1\cdot 10^{n}$ e $1\cdot 10^{n+1}$ sta una mantissa $3{,}16$. La regola è quindi:

• se $1 \leq a < 3{,}16$, l’ordine di grandezza è $10^{n}$;
• se $3{,}16 \leq a < 10$, l’ordine di grandezza è $10^{n+1}$.

Il segno di uguale sta sulla soglia superiore: $3{,}16\cdot 10^{n}$ si arrotonda a $10^{n+1}$. In classe si ricorda spesso $\sqrt{10}\approx 3{,}2$; qui teniamo $3{,}16$, che è $\sqrt{10}$ a tre cifre, e la soglia è la stessa per ogni esercizio del sito.

Il raggio della Terra vale $6{,}4\cdot 10^{6}\;\text{m}$. Poiché $6{,}4 > 3{,}16$, la potenza di $10$ più vicina è $10^{7}\;\text{m}$ e non $10^{6}\;\text{m}$. Un numero come $2{,}5\cdot 10^{3}$ resta invece dell’ordine di $10^{3}$, perché $2{,}5 < 3{,}16$.

Prodotto e quoziente

In notazione scientifica si moltiplica e si divide separando mantisse ed esponenti.

$(a\cdot 10^{n})\cdot(b\cdot 10^{m}) = (a\cdot b)\cdot 10^{n+m}, \qquad \frac{a\cdot 10^{n}}{b\cdot 10^{m}} = \left(\frac{a}{b}\right)\cdot 10^{n-m}.$

Se il prodotto delle mantisse esce dall’intervallo $[1,\,10)$, si risistema la virgola e si corregge l’esponente. Per esempio $4{,}0\cdot 10^{3}$ per $5{,}0\cdot 10^{2}$ dà $20\cdot 10^{5} = 2{,}0\cdot 10^{1}\cdot 10^{5} = 2{,}0\cdot 10^{6}$. Nel quoziente, se $a/b$ è minore di $1$, si sposta la virgola a destra di un posto e si toglie $1$ all’esponente: $2{,}0\cdot 10^{5}$ diviso $4{,}0\cdot 10^{2}$ dà $0{,}50\cdot 10^{3} = 5{,}0\cdot 10^{2}$.

Per l’ordine di grandezza di un prodotto non serve il valore esatto. Si stimano gli ordini dei fattori e si sommano gli esponenti, poi si controlla se il prodotto delle mantisse attraversa $3{,}16$. È il controllo che, in una stima di Fermi, dice subito se il risultato è credibile.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Dalla scrittura estesa alla notazione scientifica

Scrivi in notazione scientifica $45\,000$ e $0{,}000307$.

Per $45\,000$ la virgola si sposta di quattro posti a sinistra: $4{,}5\cdot 10^{4}$. Per $0{,}000307$ si sposta di quattro posti a destra: $3{,}07\cdot 10^{-4}$. $\ev{45\,000 = 4{,}5\cdot 10^{4}, \qquad 0{,}000307 = 3{,}07\cdot 10^{-4}.}$

Esercizio 2 — Dalla notazione scientifica al numero esteso

Scrivi per esteso $6{,}02\cdot 10^{8}$ e $8{,}1\cdot 10^{-3}$.

Esponente positivo: la virgola si sposta a destra di otto posti, e si aggiungono zeri dove mancano le cifre. $6{,}02\cdot 10^{8} = 602\,000\,000$. Esponente negativo: la virgola si sposta a sinistra di tre posti. $8{,}1\cdot 10^{-3} = 0{,}0081$. $\ev{6{,}02\cdot 10^{8} = 602\,000\,000, \qquad 8{,}1\cdot 10^{-3} = 0{,}0081.}$

Esercizio 3 — Ordine di grandezza, con la soglia $3{,}16$

Qual è l’ordine di grandezza di $2{,}5\cdot 10^{3}$, di $4{,}5\cdot 10^{4}$ e di $3{,}16\cdot 10^{2}$?

$2{,}5 < 3{,}16$, quindi $2{,}5\cdot 10^{3}$ è dell’ordine di $10^{3}$. $4{,}5 > 3{,}16$, quindi $4{,}5\cdot 10^{4}$ è dell’ordine di $10^{5}$. Sulla soglia la convenzione arrotonda verso l’alto: $3{,}16\cdot 10^{2}$ è dell’ordine di $10^{3}$. $\ev{10^{3},\qquad 10^{5},\qquad 10^{3}.}$

Esercizio 4 — Prodotto

Calcola $(3{,}0\cdot 10^{5})\cdot(2{,}0\cdot 10^{-3})$ e dai anche l’ordine di grandezza del risultato.

Le mantisse: $3{,}0\cdot 2{,}0 = 6{,}0$. Gli esponenti: $5+(-3) = 2$. Quindi $6{,}0\cdot 10^{2}$. Poiché $6{,}0 > 3{,}16$, l’ordine di grandezza è $10^{3}$, non $10^{2}$. $\ev{6{,}0\cdot 10^{2}, \quad \text{ordine di grandezza } 10^{3}.}$

Esercizio 5 — Quoziente da risistemare

Calcola $(8{,}4\cdot 10^{6})/(2{,}1\cdot 10^{3})$ e $(2{,}0\cdot 10^{5})/(8{,}0\cdot 10^{2})$.

Nel primo, $8{,}4/2{,}1 = 4{,}0$ e $6-3 = 3$: il risultato è già in notazione scientifica, $4{,}0\cdot 10^{3}$. L’ordine di grandezza è $10^{4}$, perché $4{,}0 > 3{,}16$.

Nel secondo, $2{,}0/8{,}0 = 0{,}25$ e $5-2 = 3$, quindi $0{,}25\cdot 10^{3}$. La mantissa è minore di $1$: si sposta la virgola di un posto a destra e si toglie $1$ all’esponente. $\ev{\frac{8{,}4\cdot 10^{6}}{2{,}1\cdot 10^{3}} = 4{,}0\cdot 10^{3}, \qquad \frac{2{,}0\cdot 10^{5}}{8{,}0\cdot 10^{2}} = 2{,}5\cdot 10^{2}.}$

Esercizio 6 — Un controllo da verifica

La distanza Terra-Sole è $1{,}50\cdot 10^{11}\;\text{m}$ e la luce percorre $3{,}00\cdot 10^{8}\;\text{m}$ in un secondo. Quanti secondi impiega la luce, in notazione scientifica? Qual è l’ordine di grandezza?

$t = \frac{1{,}50\cdot 10^{11}}{3{,}00\cdot 10^{8}} = 0{,}500\cdot 10^{3}\;\text{s} = 5{,}00\cdot 10^{2}\;\text{s}.$ Sono $500$ secondi, cioè $8$ minuti e $20$ secondi: è il valore che si impara a memoria, e il conto lo ritrova. L’ordine di grandezza è $10^{3}\;\text{s}$, perché $5{,}00 > 3{,}16$. $\ev{t = 5{,}00\cdot 10^{2}\;\text{s}, \quad \text{ordine } 10^{3}\;\text{s}.}$

Errori tipici

• Segno dell’esponente invertito. Un numero piccolo vuole un esponente negativo. Se $0{,}004$ diventa $4\cdot 10^{3}$, la virgola è stata contata nel verso sbagliato.
• Mantissa fuori intervallo. $25\cdot 10^{4}$ non è notazione scientifica: si riscrive $2{,}5\cdot 10^{5}$. La cifra davanti alla virgola è una sola, da $1$ a $9$.
• Soglia dell’ordine di grandezza dimenticata. $6{,}4\cdot 10^{6}$ non è dell’ordine di $10^{6}$. Si confronta $6{,}4$ con $3{,}16$, e si sale di uno.
• Esponenti moltiplicati invece che sommati. Nel prodotto gli esponenti si sommano; nel quoziente si sottraggono. Moltiplicare $10^{5}$ per $10^{3}$ dà $10^{8}$, non $10^{15}$.

Sensibilità agli ordini di grandezza

In fisica è fondamentale sviluppare un‘“intuizione” per gli ordini di grandezza. Se un calcolo dà come risultato la massa della Luna $= 5\;\text{kg}$, si capisce subito che c’è un errore senza nemmeno rifare i conti: il risultato deve essere dell’ordine di $10^{22}\;\text{kg}$. Confrontare l’ordine di grandezza di un risultato con quello che ci si aspetta è il primo, rapidissimo controllo di ogni calcolo.

▶PSSC — Cambiamenti di scala — PSSC

▶Notazione scientifica — Veritasium

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Stime di Fermi

Esercizi collegati: Problema — Volume di un parallelepipedo · Problema — Capelli in testa · Problema — Mar Adriatico

To write a number in scientific notation one moves the decimal point until a single digit, from $1$ to $9$, stands in front of it, and counts how many places it moved: that count is the exponent of $10$, positive if the point moved left (large numbers) and negative if it moved right (small numbers). The number then has the form $a\cdot 10^n$, with $1 \leq a < 10$.

When numbers are very large or very small, writing them out in full becomes cumbersome and error-prone (one slip in counting the zeros is enough). Scientific notation is exactly the remedy: every number is written in the form

$a\cdot 10^n \qquad \text{with}\quad 1 \leq a < 10,$

where $a$ is the mantissa (a number with a single digit before the decimal point) and $n$ is an integer, positive for large numbers and negative for small ones. A few examples from the scales of nature:

• Electron mass: $9{,}1\cdot 10^{-31}\;\text{kg}$
• Atomic nucleus radius: $\sim 10^{-15}\;\text{m}$
• Earth’s radius: $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$
• Earth-Sun distance: $1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$
• Sun’s mass: $2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$

How to write a number in scientific notation

The procedure is always the same, and it is done by hand before reaching for the calculator.

1. Write the number with the decimal point visible. In $45\,000$ the point sits after the last zero: $45000{,}$. In $0{,}000307$ it is already in place.
2. Move the point until a single non-zero digit remains to its left. For $45000{,}$ one arrives at $4{,}5000$; for $0{,}000307$ one arrives at $3{,}07$.
3. Count how many places the point moved. Four places to the left for $45\,000$; four places to the right for $0{,}000307$.
4. The sign of the exponent is the sign of that move as seen from the original number: point moving left, exponent positive; point moving right, exponent negative. One obtains $4{,}5\cdot 10^{4}$ and $3{,}07\cdot 10^{-4}$. Trailing zeros that are not significant figures are not copied into the mantissa: $45\,000$ written without decimals is ambiguous, and here we treat it as $4{,}5\cdot 10^{4}$, two figures.

A quick check: $10^{4}$ makes a number larger, $10^{-4}$ makes it smaller. If the original number was greater than $10$, the exponent must come out positive; if it was less than $1$, negative.

Two conversions, step by step

$6{,}020\cdot 10^{8}$ is not a number to convert: it is already in scientific notation. Take instead $602\,000\,000$. The point starts after the last zero and moves eight places to the left, as far as $6{,}02$. Positive exponent: $6{,}02\cdot 10^{8}$.

For $0{,}000051$ the point moves five places to the right, as far as $5{,}1$. Negative exponent: $5{,}1\cdot 10^{-5}$.

Order of magnitude

The order of magnitude of a number is the nearest power of $10$. It is a quick way of saying “how large” a quantity is, ignoring the details.

The convention we use, and it is the standard one in the first two years of high school, compares the mantissa with $\sqrt{10}$. Since $10^{0{,}5} = \sqrt{10} \approx 3{,}162$, halfway (on a logarithmic scale) between $1\cdot 10^{n}$ and $1\cdot 10^{n+1}$ sits a mantissa of $3{,}16$. The rule is therefore:

• if $1 \leq a < 3{,}16$, the order of magnitude is $10^{n}$;
• if $3{,}16 \leq a < 10$, the order of magnitude is $10^{n+1}$.

The equality sits on the upper threshold: $3{,}16\cdot 10^{n}$ rounds to $10^{n+1}$. In class one often remembers $\sqrt{10}\approx 3{,}2$; here we keep $3{,}16$, which is $\sqrt{10}$ to three figures, and the threshold is the same in every exercise on the site.

The Earth’s radius is $6{,}4\cdot 10^{6}\;\text{m}$. Since $6{,}4 > 3{,}16$, the nearest power of $10$ is $10^{7}\;\text{m}$ rather than $10^{6}\;\text{m}$. A number such as $2{,}5\cdot 10^{3}$ stays of order $10^{3}$, because $2{,}5 < 3{,}16$.

Products and quotients

In scientific notation one multiplies and divides by separating mantissas and exponents.

$(a\cdot 10^{n})\cdot(b\cdot 10^{m}) = (a\cdot b)\cdot 10^{n+m}, \qquad \frac{a\cdot 10^{n}}{b\cdot 10^{m}} = \left(\frac{a}{b}\right)\cdot 10^{n-m}.$

If the product of the mantissas leaves the interval $[1,\,10)$, one resets the point and corrects the exponent. For instance $4{,}0\cdot 10^{3}$ times $5{,}0\cdot 10^{2}$ gives $20\cdot 10^{5} = 2{,}0\cdot 10^{1}\cdot 10^{5} = 2{,}0\cdot 10^{6}$. In a quotient, if $a/b$ is less than $1$, one moves the point one place to the right and subtracts $1$ from the exponent: $2{,}0\cdot 10^{5}$ divided by $4{,}0\cdot 10^{2}$ gives $0{,}50\cdot 10^{3} = 5{,}0\cdot 10^{2}$.

The order of magnitude of a product does not need the exact value. One estimates the orders of the factors and adds the exponents, then checks whether the product of the mantissas crosses $3{,}16$. That is the check which, in a Fermi estimate, says at once whether the result is credible.

Worked exercises

Exercise 1 — From ordinary writing to scientific notation

Write $45\,000$ and $0{,}000307$ in scientific notation.

For $45\,000$ the point moves four places to the left: $4{,}5\cdot 10^{4}$. For $0{,}000307$ it moves four places to the right: $3{,}07\cdot 10^{-4}$. $\ev{45\,000 = 4{,}5\cdot 10^{4}, \qquad 0{,}000307 = 3{,}07\cdot 10^{-4}.}$

Exercise 2 — From scientific notation to ordinary writing

Write out $6{,}02\cdot 10^{8}$ and $8{,}1\cdot 10^{-3}$ in full.

Positive exponent: the point moves eight places to the right, and zeros are added where digits are missing. $6{,}02\cdot 10^{8} = 602\,000\,000$. Negative exponent: the point moves three places to the left. $8{,}1\cdot 10^{-3} = 0{,}0081$. $\ev{6{,}02\cdot 10^{8} = 602\,000\,000, \qquad 8{,}1\cdot 10^{-3} = 0{,}0081.}$

Exercise 3 — Order of magnitude, with the threshold $3{,}16$

What is the order of magnitude of $2{,}5\cdot 10^{3}$, of $4{,}5\cdot 10^{4}$ and of $3{,}16\cdot 10^{2}$?

$2{,}5 < 3{,}16$, so $2{,}5\cdot 10^{3}$ is of order $10^{3}$. $4{,}5 > 3{,}16$, so $4{,}5\cdot 10^{4}$ is of order $10^{5}$. On the threshold the convention rounds upward: $3{,}16\cdot 10^{2}$ is of order $10^{3}$. $\ev{10^{3},\qquad 10^{5},\qquad 10^{3}.}$

Exercise 4 — A product

Compute $(3{,}0\cdot 10^{5})\cdot(2{,}0\cdot 10^{-3})$ and also give the order of magnitude of the result.

The mantissas: $3{,}0\cdot 2{,}0 = 6{,}0$. The exponents: $5+(-3) = 2$. So $6{,}0\cdot 10^{2}$. Since $6{,}0 > 3{,}16$, the order of magnitude is $10^{3}$, not $10^{2}$. $\ev{6{,}0\cdot 10^{2}, \quad \text{order of magnitude } 10^{3}.}$

Exercise 5 — A quotient that needs resetting

Compute $(8{,}4\cdot 10^{6})/(2{,}1\cdot 10^{3})$ and $(2{,}0\cdot 10^{5})/(8{,}0\cdot 10^{2})$.

In the first, $8{,}4/2{,}1 = 4{,}0$ and $6-3 = 3$: the result is already in scientific notation, $4{,}0\cdot 10^{3}$. The order of magnitude is $10^{4}$, because $4{,}0 > 3{,}16$.

In the second, $2{,}0/8{,}0 = 0{,}25$ and $5-2 = 3$, so $0{,}25\cdot 10^{3}$. The mantissa is less than $1$: move the point one place to the right and subtract $1$ from the exponent. $\ev{\frac{8{,}4\cdot 10^{6}}{2{,}1\cdot 10^{3}} = 4{,}0\cdot 10^{3}, \qquad \frac{2{,}0\cdot 10^{5}}{8{,}0\cdot 10^{2}} = 2{,}5\cdot 10^{2}.}$

Exercise 6 — A check from a class test

The Earth–Sun distance is $1{,}50\cdot 10^{11}\;\text{m}$ and light travels $3{,}00\cdot 10^{8}\;\text{m}$ in one second. How many seconds does the light take, in scientific notation? What is the order of magnitude?

$t = \frac{1{,}50\cdot 10^{11}}{3{,}00\cdot 10^{8}} = 0{,}500\cdot 10^{3}\;\text{s} = 5{,}00\cdot 10^{2}\;\text{s}.$ That is $500$ seconds, or $8$ minutes and $20$ seconds: the value one learns by heart, and the calculation finds it again. The order of magnitude is $10^{3}\;\text{s}$, because $5{,}00 > 3{,}16$. $\ev{t = 5{,}00\cdot 10^{2}\;\text{s}, \quad \text{order } 10^{3}\;\text{s}.}$

Typical mistakes

• The sign of the exponent reversed. A small number wants a negative exponent. If $0{,}004$ becomes $4\cdot 10^{3}$, the point was counted in the wrong direction.
• A mantissa outside the interval. $25\cdot 10^{4}$ is not scientific notation: one rewrites it as $2{,}5\cdot 10^{5}$. The digit before the point is a single one, from $1$ to $9$.
• The order-of-magnitude threshold forgotten. $6{,}4\cdot 10^{6}$ is not of order $10^{6}$. Compare $6{,}4$ with $3{,}16$, and go up by one.
• Exponents multiplied instead of added. In a product the exponents are added; in a quotient they are subtracted. Multiplying $10^{5}$ by $10^{3}$ gives $10^{8}$, not $10^{15}$.

Sensitivity to orders of magnitude

In physics it is essential to develop an “intuition” for orders of magnitude. If a calculation gives the mass of the Moon as $5\;\text{kg}$, it is immediately clear there is an error, without even redoing the sums: the result should be of order $10^{22}\;\text{kg}$. Comparing the order of magnitude of a result with what is expected is the first, fastest check of any calculation.

▶PSSC — Changes of Scale — PSSC

▶Scientific Notation — Veritasium

Links

Topics: Physical quantities and measurement Concepts: Scientific notation and orders of magnitude Skills: Fermi Estimates

Related exercises: Problem — Volume of a rectangular parallelepiped · Problem — Hairs on a head · Problem — The Adriatic Sea

Una percentuale è semplicemente una frazione scritta su 100: $54{,}2\% = 54{,}2/100 = 0{,}542$. Per passare dalla percentuale al valore assoluto si moltiplica per il totale — su 24 studenti, il $54{,}2\%$ è $24\cdot 0{,}542 \approx 13$ studenti. Viceversa, per passare da un conteggio a una percentuale si usa

$\text{percentuale} = \frac{\text{conteggio}}{\text{totale}}\cdot 100.$

Un risultato importante, e spesso trascurato, è che una percentuale calcolata su un campione finito di $N$ individui è per forza affetta da incertezza: tanto più piccolo è $N$, tanto più la stima può variare se ripetessimo il sondaggio su un altro gruppo. La statistica elementare fornisce una formula per quantificare questa incertezza.

Principio — Incertezza su una proporzione

$\ev{\text{err}(p) = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}}}$ dove $p$ è la proporzione (un numero tra 0 e 1, non in percentuale) e $N$ è la dimensione del campione.

Formula chiave

Più grande è il campione $N$, più piccolo è l’errore sulla percentuale: l’incertezza decresce come $1/\sqrt{N}$.

La dipendenza da $1/\sqrt{N}$ spiega perché per dimezzare l’incertezza di un sondaggio bisogna quadruplicare il numero di intervistati. È anche il motivo per cui i sondaggi seri coinvolgono migliaia di persone: solo così l’errore scende a pochi punti percentuali.

Consideriamo una classe di 24 studenti a cui si chiede: “Preferisci i cani o i gatti?”. Rispondono 13 cani e 11 gatti. La proporzione a favore dei cani è $p = 13/24 = 0{,}542$, ovvero $54{,}2\%$, con incertezza

$\text{err}(p) = \sqrt{\frac{0{,}542\cdot 0{,}458}{24}} \approx \sqrt{\frac{0{,}248}{24}} \approx 0{,}102,$

cioè $10{,}2\%$. I cani vincono con $(54{,}2 \pm 10{,}2)\%$, un intervallo $[\,44{,}1\%\;;\;64{,}3\%\,]$: per un campione così piccolo l’incertezza è enorme, e con soli 24 studenti non è statisticamente chiaro se la maggioranza preferisca davvero i cani.

Sanity check con campioni piccoli

Qualche verifica sulla formula:

• 3 rossi su 5 totali: $p=0{,}6$, err $\approx 22\%$.
• 2 verdi su 3 totali: $p=0{,}67$, err $\approx 27\%$.
• 8 favorevoli su 12 totali: $p=0{,}67$, err $\approx 14\%$.

Sotto i 20 campioni l’errore su una proporzione è dell’ordine del $20\%$ o più: una regola pratica da ricordare quando si leggono i sondaggi elettorali sui giornali.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Propagazione degli errori

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Esercizio svolto — Cane o gatto: il sondaggio della classe · Problema — Ranking di incertezze relative

A percentage is simply a fraction expressed out of 100: $54{,}2\% = 54{,}2/100 = 0{,}542$. To go from a percentage to the absolute value, multiply by the total — out of 24 students, $54{,}2\%$ is $24\cdot 0{,}542 \approx 13$ students. Conversely, to go from a count to a percentage one uses

$\text{percentage} = \frac{\text{count}}{\text{total}}\cdot 100.$

An important, and often overlooked, result is that a percentage calculated on a finite sample of $N$ individuals is necessarily affected by uncertainty: the smaller $N$ is, the more the estimate can vary if the survey were repeated on a different group. Elementary statistics provides a formula to quantify this uncertainty.

Principle — Uncertainty on a proportion

$\ev{\text{err}(p) = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}}}$ where $p$ is the proportion (a number between 0 and 1, not a percentage) and $N$ is the sample size.

Key formula

The larger the sample $N$, the smaller the error on the percentage: the uncertainty decreases as $1/\sqrt{N}$.

The $1/\sqrt{N}$ dependence explains why halving the uncertainty of a survey requires quadrupling the number of respondents. It is also why serious surveys involve thousands of people: only then does the error drop to a few percentage points.

Consider a class of 24 students asked: “Do you prefer dogs or cats?” 13 answer dogs and 11 answer cats. The proportion in favour of dogs is $p = 13/24 = 0{,}542$, i.e. $54{,}2\%$, with uncertainty

$\text{err}(p) = \sqrt{\frac{0{,}542\cdot 0{,}458}{24}} \approx \sqrt{\frac{0{,}248}{24}} \approx 0{,}102,$

i.e. $10{,}2\%$. Dogs win with $(54{,}2 \pm 10{,}2)\%$, an interval $[\,44{,}1\%\;;\;64{,}3\%\,]$: for such a small sample the uncertainty is enormous, and with only 24 students it is not statistically clear whether the majority really prefers dogs.

Sanity check with small samples

A few checks on the formula:

• 3 reds out of 5 total: $p=0{,}6$, err $\approx 22\%$.
• 2 greens out of 3 total: $p=0{,}67$, err $\approx 27\%$.
• 8 in favour out of 12 total: $p=0{,}67$, err $\approx 14\%$.

Below 20 samples the error on a proportion is of the order of $20\%$ or more: a practical rule worth remembering when reading election polls in the newspapers.

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Topics: Physical quantities and measurement Concepts: Significant figures and uncertainty Skills: Error propagation

Related exercises: Worked exercise — Area of a measured rectangle · Worked exercise — Dog or cat: the class survey · Problem — Ranking of relative uncertainties

La densità $\rho$ di un corpo omogeneo è il rapporto tra la sua massa $m$ e il volume $V$ che occupa: $\rho = m/V$. Nel Sistema Internazionale si misura in chilogrammi al metro cubo ($\text{kg/m}^3$); in laboratorio è spesso più comodo il grammo al centimetro cubo ($\text{g/cm}^3$). Le due unità sono legate da un fattore esatto: $1\;\text{g/cm}^3 = 1000\;\text{kg/m}^3$. L’acqua liquida, a $4\;^\circ\text{C}$ e a pressione atmosferica, ha densità $1{,}000\cdot 10^3\;\text{kg/m}^3$, cioè $1{,}000\;\text{g/cm}^3$.

La densità è una grandezza derivata: per misurarla si misurano separatamente una massa e un volume, poi se ne fa il rapporto. Non è una delle sette grandezze fondamentali del SI. Due corpi dello stesso materiale, se sono omogenei, hanno la stessa densità anche se uno è molto più grande dell’altro: raddoppiare la massa raddoppia anche il volume, e il rapporto non cambia.

Definizione — Densità

Per un corpo omogeneo $\ev{\rho = \frac{m}{V}}$ Le formule inverse, utili negli esercizi, sono $\ev{m = \rho\, V} \qquad \ev{V = \frac{m}{\rho}}$ Unità SI: $\text{kg/m}^3$. Conversione da ricordare: $1\;\text{g/cm}^3 = 1000\;\text{kg/m}^3$.

Conversioni di unità

Il fattore $1000$ nasce dal confronto tra grammo e chilogrammo e tra centimetro cubo e metro cubo. Poiché $1\;\text{g} = 10^{-3}\;\text{kg}$ e $1\;\text{cm}^3 = (10^{-2}\;\text{m})^3 = 10^{-6}\;\text{m}^3$,

$1\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \frac{10^{-3}\;\text{kg}}{10^{-6}\;\text{m}^3} = 10^{3}\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}.$

Per passare da $\text{g/cm}^3$ a $\text{kg/m}^3$ si moltiplica per $1000$; per il passaggio inverso si divide per $1000$. Un litro d’acqua ha massa di circa $1\;\text{kg}$, perché $1\;\text{L} = 1\;\text{dm}^3 = 10^{-3}\;\text{m}^3$ e $\rho_{\text{acqua}} = 1000\;\text{kg/m}^3$.

Attenzione al cubo: $1\;\text{m}^3$ non contiene $100\;\text{cm}^3$, ma $100\times 100\times 100 = 10^6\;\text{cm}^3$. Dimenticare il cubo sposta il risultato di un fattore $100$ o $10\,000$.

Densità tipiche

I valori qui sotto sono quelli di riferimento usati in prima liceo, a temperatura ambiente (per l’acqua, a $4\;^\circ\text{C}$) e a pressione atmosferica. Per i legni e per l’aria la densità varia con l’umidità e con la temperatura; gli altri materiali sono riportati con tre cifre, come nelle tabelle scolastiche.

Il ghiaccio è meno denso dell’acqua liquida: per questo galleggia e lascia scoperta una frazione del proprio volume. L’aria è circa mille volte meno densa dell’acqua. L’oro è quasi venti volte più denso dell’acqua: un litro d’oro ha una massa di circa $19\;\text{kg}$.

Perché un oggetto galleggia

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato. Se il corpo è omogeneo e lo si immerge tutto, quella spinta vale $\rho_{\text{fluido}} V g$ e il peso del corpo vale $\rho_{\text{corpo}} V g$. Il volume è lo stesso, quindi il confronto si riduce alle densità:

• se $\rho_{\text{corpo}} > \rho_{\text{fluido}}$, il peso vince e il corpo affonda;
• se $\rho_{\text{corpo}} < \rho_{\text{fluido}}$, la spinta vince e il corpo risale, finché la parte immersa sposta un peso di fluido uguale al proprio;
• se le due densità sono uguali, il corpo resta in equilibrio a qualunque profondità.

La frazione di volume che resta immersa, per un corpo che galleggia, è $\rho_{\text{corpo}}/\rho_{\text{fluido}}$. Il legno d’abete in acqua ne immerge $450/1000 = 0{,}450$; il ghiaccio ne immerge $917/1000 = 0{,}917$. Una nave d’acciaio galleggia lo stesso, perché non è un blocco pieno: l’aria nello scafo abbassa la densità media sotto quella dell’acqua. Il ragionamento completo, con la spinta e gli esercizi sui fluidi, è nella pagina sul principio di Archimede.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Densità da massa e volume

Una bottiglia da laboratorio contiene $250\;\text{cm}^3$ di olio. La bilancia, dopo aver sottratto la massa della bottiglia vuota, segna $0{,}212\;\text{kg}$. Qual è la densità dell’olio in $\text{g/cm}^3$ e in $\text{kg/m}^3$?

La massa in grammi è $m = 0{,}212\cdot 1000 = 212\;\text{g}$ (tre cifre significative, come il dato). Allora $\rho = \frac{212\;\text{g}}{250\;\text{cm}^3} = 0{,}848\;\text{g/cm}^3.$ In unità SI il volume è $V = 250\cdot 10^{-6}\;\text{m}^3 = 2{,}50\cdot 10^{-4}\;\text{m}^3$, quindi $\ev{\rho = \frac{0{,}212\;\text{kg}}{2{,}50\cdot 10^{-4}\;\text{m}^3} = 848\;\text{kg/m}^3.}$ Il controllo con la conversione è immediato: $0{,}848\;\text{g/cm}^3 \times 1000 = 848\;\text{kg/m}^3$. L’olio è meno denso dell’acqua, come ci si aspetta.

Esercizio 2 — Volume da massa e densità

Un blocchetto di alluminio ha massa $m = 54{,}0\;\text{g}$. La tabella dà $\rho = 2{,}70\;\text{g/cm}^3$. Qual è il suo volume in $\text{cm}^3$ e in $\text{m}^3$?

Dalla formula inversa $V = \frac{m}{\rho} = \frac{54{,}0\;\text{g}}{2{,}70\;\text{g/cm}^3} = 20{,}0\;\text{cm}^3.$ Poiché $1\;\text{cm}^3 = 10^{-6}\;\text{m}^3$, $\ev{V = 20{,}0\cdot 10^{-6}\;\text{m}^3 = 2{,}00\cdot 10^{-5}\;\text{m}^3.}$ Tre cifre significative: $54{,}0$ e $2{,}70$ ne hanno tre, e $54{,}0/2{,}70 = 20{,}0$ esatto.

Esercizio 3 — Massa di una piastrina di ferro

Una piastrina rettangolare di ferro misura $8{,}0\;\text{cm} \times 4{,}0\;\text{cm} \times 1{,}5\;\text{cm}$. La densità del ferro è $7{,}87\;\text{g/cm}^3$. Qual è la massa, in grammi?

Il volume è il prodotto dei tre spigoli: $V = 8{,}0\cdot 4{,}0\cdot 1{,}5 = 48\;\text{cm}^3.$ I dati hanno due cifre significative ($8{,}0$, $4{,}0$, $1{,}5$), quindi anche il volume si riporta con due cifre: $V = 48\;\text{cm}^3$. La massa è $m = \rho V = 7{,}87\cdot 48 = 3{,}8\cdot 10^{2}\;\text{g}.$ Il prodotto esatto è $7{,}87\times 48 = 377{,}76$. Il volume ha due cifre significative, quindi anche la massa si riporta con due cifre: $3{,}8\cdot 10^{2}\;\text{g}$, cioè $0{,}38\;\text{kg}$. In notazione scientifica lo zero ambiguo di «$380\;\text{g}$» non si pone.

Esercizio 4 — Conversione e riconoscimento del materiale

Un cilindretto ha massa $m = 156\;\text{g}$ e volume $V = 2{,}00\cdot 10^{2}\;\text{cm}^3$. Calcola la densità in $\text{g/cm}^3$ e in $\text{kg/m}^3$, e decidi se può essere alluminio, ferro o un legno pesante.

$\rho = \frac{156\;\text{g}}{2{,}00\cdot 10^{2}\;\text{cm}^3} = 0{,}780\;\text{g/cm}^3 = 780\;\text{kg/m}^3.$ Il quoziente $156/200 = 0{,}780$ è esatto, e i due dati hanno tre cifre significative. L’alluminio sta a $2{,}70\;\text{g/cm}^3$ e il ferro a $7{,}87\;\text{g/cm}^3$: entrambi sono molto più densi. Il valore $0{,}780\;\text{g/cm}^3$ è tipico di un legno duro (quercia, faggio), non di un metallo.

Esercizio 5 — Galleggia o affonda?

(a) Un blocchetto pieno di rame ha densità $8{,}90\cdot 10^3\;\text{kg/m}^3$. Galleggia in acqua? (b) Una lattina da $330\;\text{mL}$ ha volume esterno $V \approx 3{,}5\cdot 10^{2}\;\text{cm}^3$ e massa $m \approx 15\;\text{g}$ (alluminio delle pareti; l’aria interna si trascura). Galleggia? Che frazione del volume esterno resta immersa?

(a) $8900 > 1000$, quindi il rame pieno affonda.

(b) La densità media si calcola con il volume esterno, cavità compresa: $\rho = \frac{15\;\text{g}}{3{,}5\cdot 10^{2}\;\text{cm}^3} = 0{,}043\;\text{g/cm}^3 = 43\;\text{kg/m}^3.$ I dati sono stime a due cifre ($15$ e $3{,}5\cdot 10^{2}$), quindi anche il quoziente si riporta con due cifre: $0{,}043\;\text{g/cm}^3$. Poiché $43 < 1000$, la lattina vuota galleggia. La frazione immersa è $\ev{\frac{V_{\text{imm}}}{V} = \frac{43}{1000} = 0{,}043.}$ Resta sotto il pelo dell’acqua poco più del quattro per cento del volume esterno: quasi tutta la lattina emerge. È lo stesso motivo per cui una nave d’acciaio galleggia: conta la densità media, non quella del metallo delle pareti.

Esercizio 6 — Volume di un legno che galleggia

Un pezzo di abete ha massa $m = 250\;\text{g}$ e densità $\rho = 0{,}450\;\text{g/cm}^3$. (a) Qual è il suo volume? (b) Se lo si appoggia sull’acqua ($\rho_{\text{a}} = 1{,}00\;\text{g/cm}^3$), che volume resta immerso?

(a) $V = \frac{m}{\rho} = \frac{250\;\text{g}}{0{,}450\;\text{g/cm}^3} = 556\;\text{cm}^3.$ Il quoziente esatto è $555{,}55\ldots$; con tre cifre significative, come $0{,}450$, si scrive $556\;\text{cm}^3$.

(b) All’equilibrio il peso del legno uguaglia il peso dell’acqua spostata, quindi $m = \rho_{\text{a}} V_{\text{imm}}$ e $\ev{V_{\text{imm}} = \frac{250\;\text{g}}{1{,}00\;\text{g/cm}^3} = 250\;\text{cm}^3.}$ La frazione immersa è $250/556 = 0{,}450$, che coincide con $\rho/\rho_{\text{a}}$: è il controllo che chiude l’esercizio.

Errori tipici

• Dimenticare il cubo nella conversione. $1\;\text{m} = 100\;\text{cm}$, ma $1\;\text{m}^3 = 10^6\;\text{cm}^3$, non $10^2$. Il fattore tra $\text{g/cm}^3$ e $\text{kg/m}^3$ è $1000$, non $1$ e non $100$.
• Scambiare le formule inverse. Se si cerca la massa si moltiplica, $\,m = \rho V$; se si cerca il volume si divide, $\,V = m/\rho$. Un volume più grande della stanza, partendo da un chiodo, è il segnale che si è moltiplicato invece di dividere.
• Mescolare le unità a metà conto. Grammi con metri cubi, o chilogrammi con centimetri cubi, danno un numero senza senso. Si converte tutto prima di dividere, poi si controlla che il risultato sia dello stesso ordine della tabella.
• Confondere densità del materiale e densità media. Il ferro affonda; una nave di ferro galleggia. Quello che entra nel confronto con l’acqua è $\rho = m/V$ calcolato con il volume esterno, cavità comprese.
• Trattare la densità come se dipendesse dalle dimensioni. Un cubo di alluminio di lato $1\;\text{cm}$ e uno di lato $10\;\text{cm}$ hanno la stessa densità. Cambia la massa, non $\rho$.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura · Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Densità

Vedi anche: Il principio di Archimede · Legge di Stevino · Problema — Fondamentali o derivate