Legge di Stevino

Immaginiamo un cilindro verticale di sezione $A$ riempito di un liquido incomprimibile di densità $\rho$. Isoliamo idealmente una colonna di liquido di altezza $h$, racchiusa fra due quote. Poiché questa colonna è in equilibrio, il suo peso deve essere bilanciato dalla differenza di pressione fra la quota inferiore e quella superiore, moltiplicata per l’area $A$. Il peso della colonna è $mg = \rho V g = \rho A h g$; la spinta netta dovuta alla differenza di pressione è $\Delta P \cdot A$. Uguagliando le due e dividendo per $A$ otteniamo che la pressione cresce di $\rho g h$ scendendo di una quota $h$.

Principio — Legge di Stevino

In un fluido di densità $\rho$ in equilibrio in un campo gravitazionale uniforme $g$, la pressione cresce linearmente con la profondità $h$: $\ev{P(h) = P_0 + \rho\,g\,h}$ dove $P_0$ è la pressione alla superficie superiore. In particolare, tutti i punti alla stessa quota hanno la stessa pressione, indipendentemente dalla forma del recipiente.

In un recipiente aperto la superficie libera è alla pressione atmosferica $P_0$; a profondità $h$ la pressione vale $P_0 + \rho g h$.

Stevino non dipende dalla forma

La pressione sul fondo dipende solo dalla profondità, non dalla quantità di liquido. Una piscina larga $25$ m e un sottile tubo di paglia, riempiti d’acqua alla stessa quota, esercitano la stessa pressione sul fondo. È controintuitivo ma vero: il fondo regge il peso della colonna verticale sopra di sé, non di tutto il liquido presente.

Questo comportamento — la pressione che dipende solo dalla profondità e mai dalla forma del recipiente — è una delle proprietà più caratteristiche dei fluidi in equilibrio (Lauga 2022; Walker 2013).

Pressione sul fondo di una piscina

In una piscina profonda $2{,}5$ m, qual è la pressione totale sul fondo? E quella manometrica, cioè la sola componente dovuta al liquido?

La pressione manometrica è $P_\text{man} = \rho g h = 1000\cdot 9{,}81\cdot 2{,}5 \approx 2{,}45\cdot 10^4\;\text{Pa}$. La pressione totale è $P_\text{tot} = P_\text{atm} + P_\text{man} \approx 1{,}013\cdot 10^5 + 2{,}45\cdot 10^4 \approx 1{,}26\cdot 10^5\;\text{Pa}$.

Per ogni $10$ m di profondità aggiuntiva la pressione totale aumenta di circa un’atmosfera: è la regola che ogni sub conosce.

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Legge di Stevino · Pressione

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