Esercizio svolto — Il Gorilla tira una cassa

Testo

Un Gorilla afferra una cassa di $m = 70\;\text{kg}$ con una corda che parte dalla cassa e punta verso il basso di $30^\circ$ sotto l’orizzontale (la corda passa tra le mani del gorilla più in alto). Tira con una forza di $|\vec{F}_g| = 600\;\text{N}$. Il coefficiente di attrito statico tra cassa e pavimento è $\mu = 1$. La cassa scivola?

Soluzione

Passo 1 — Elenco delle forze. Sulla cassa agiscono quattro forze: il peso $\vec{P}$, la reazione vincolare del pavimento $\vec{R}$, l’attrito $\vec{F}_a$ e la forza del gorilla $\vec{F}_g$.

Passo 2 — Scomposizione in componenti. Con l’asse $x$ orizzontale nel verso della trazione e l’asse $y$ verticale verso l’alto:

$\vec{P} = (0,\ -70\cdot 9{,}81) = (0,\ -686{,}7) \qquad \vec{R} = (0,\ R)$

$\vec{F}_g = (F_g\cos 30^\circ,\ -F_g\sin 30^\circ) = (519{,}6,\ -300) \qquad \vec{F}_a = (-F_a,\ 0)$

dove l’attrito si oppone al moto incipiente verso destra.

Passo 3 — Equazioni di equilibrio. Imponendo $\sum\vec{F} = \vec{0}$ separatamente sui due assi:

$\begin{aligned} x: &\quad 519{,}6 - F_a = 0 \;\Rightarrow\; F_a = 519{,}6\;\text{N} \\ y: &\quad -686{,}7 + R - 300 = 0 \;\Rightarrow\; R = 986{,}7\;\text{N} \end{aligned}$

Passo 4 — Confronto con l’attrito massimo. La forza di attrito statico massima disponibile è $F_a^\text{max} = \mu R = 1\cdot 986{,}7 = 986{,}7\;\text{N}$. L’attrito richiesto per l’equilibrio è $519{,}6\;\text{N}$, e poiché

$\ev{F_a^\text{richiesta} = 519{,}6\;\text{N} < 986{,}7\;\text{N} = F_a^\text{max}}$

la cassa non scivola.

Nota pedagogica. Tirando verso il basso, il gorilla aumenta la reazione vincolare $R$ e quindi anche l’attrito massimo disponibile. Se invece tirasse verso l’alto con lo stesso angolo, $R$ diminuirebbe e sarebbe più facile far scivolare la cassa.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Componenti di un vettore · Forza peso · Forza normale · Attrito statico Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Blocco