Esercizio svolto — Scatola con molla: zona di equilibrio

Testo

Una scatola di massa $m = 10\;\text{kg}$ è appoggiata sul pavimento e collegata a una molla orizzontale fissata al muro. La molla ha costante $k = 100\;\text{N/m}$ e lunghezza a riposo $\ell_0 = 3\;\text{m}$. Il coefficiente di attrito statico tra scatola e pavimento è $\mu = 0{,}5$. In quale intervallo di distanze $\ell$ dal muro la scatola rimane ferma?

Soluzione

Passo 1 — Forze in gioco. Le forze orizzontali sulla scatola sono la forza della molla $F_m = k\,\abs{\ell-\ell_0}$ e l’attrito statico $F_a$, che si oppone al moto incipiente e soddisfa $\abs{F_a}\leq\mu R$.

Passo 2 — Reazione normale e attrito massimo. In verticale la reazione del pavimento bilancia il peso:

$R = mg = 10\cdot 9{,}81 = 98{,}1\;\text{N}$

$F_a^{\text{max}} = \mu R = 0{,}5\cdot 98{,}1 = 49{,}05\;\text{N}$

Passo 3 — Molla tesa ($\ell > \ell_0$). La molla tira la scatola verso il muro e l’attrito deve opporsi; l’equilibrio regge finché la forza elastica non supera l’attrito massimo:

$k(\ell-\ell_0) \leq F_a^{\text{max}} \;\Longleftrightarrow\; \ell \leq \ell_0 + \frac{F_a^{\text{max}}}{k} = 3 + \frac{49{,}05}{100} = 3{,}49\;\text{m}$

Passo 4 — Molla compressa ($\ell < \ell_0$). La molla spinge la scatola lontano dal muro e di nuovo l’attrito deve bastare:

$k(\ell_0-\ell) \leq F_a^{\text{max}} \;\Longleftrightarrow\; \ell \geq \ell_0 - \frac{F_a^{\text{max}}}{k} = 3 - \frac{49{,}05}{100} = 2{,}51\;\text{m}$

Passo 5 — Intervallo di equilibrio. C’è tutta una “zona tranquilla” in cui la scatola resta ferma grazie al gioco tra molla e attrito:

$\ev{\ell\in[2{,}51;\;3{,}49]\;\text{m}}$

Fuori dall’intervallo la molla vince e la scatola inizia a muoversi.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Forza elastica e legge di Hooke · Attrito statico · Forza normale Oggetti: Molla · Blocco