Esercizio svolto — Scala appoggiata a un muro liscio

Testo

Una scala di massa $m = 20\;\text{kg}$ e lunghezza $L = 3\;\text{m}$ è appoggiata contro una parete verticale liscia (attrito nullo). La scala forma con il pavimento un angolo di $60^\circ$. Il coefficiente di attrito statico tra scala e pavimento è $\mu = 1$. La scala scivola?

Soluzione

Passo 1 — Forze sulla scala.

• peso $\vv P = (0,\, -196{,}2)\;\text{N}$, applicato al centro della scala;
• reazione del pavimento $\vv R_1 = (0,\, R_1)$, verticale, applicata al piede;
• attrito al pavimento $\vv F_a = (F_a,\, 0)$, orizzontale, applicato al piede;
• reazione del muro $\vv R_2 = (-R_2,\, 0)$, orizzontale (il muro è liscio, niente attrito), applicata al vertice superiore.

Passo 2 — Equilibrio traslazionale $\sum\vv F = \vv 0$:

$\begin{aligned} x:&\quad F_a - R_2 = 0 \;\Rightarrow\; F_a = R_2 \\ y:&\quad R_1 - 196{,}2 = 0 \;\Rightarrow\; R_1 = 196{,}2\;\text{N} \end{aligned}$

Passo 3 — Equilibrio rotazionale (polo furbo al piede). Scegliendo il polo al piede della scala, $\vv R_1$ e $\vv F_a$ hanno braccio nullo e spariscono. Restano il peso (braccio orizzontale $\tfrac{L}{2}\cos 60^\circ = 0{,}75\;\text{m}$) e la reazione del muro (applicata in cima, altezza $L\sin 60^\circ \approx 2{,}60\;\text{m}$):

$\sum M = -P\cdot 0{,}75 + R_2\cdot 2{,}60 = 0 \;\Rightarrow\; R_2 = \frac{196{,}2\cdot 0{,}75}{2{,}60} \approx 56{,}6\;\text{N}$

Passo 4 — Confronto con l’attrito massimo. Da $F_a = R_2 \approx 56{,}6\;\text{N}$, mentre l’attrito statico disponibile è

$F_a^{\text{max}} = \mu R_1 = 1\cdot 196{,}2 = 196{,}2\;\text{N}$

Poiché $56{,}6\;\text{N} < 196{,}2\;\text{N}$, l’attrito richiesto è ampiamente disponibile:

$\ev{F_a \approx 56{,}6\;\text{N} < F_a^{\text{max}} = 196{,}2\;\text{N}\;\Rightarrow\; \text{la scala non scivola}}$

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza · Attrito statico · Forza normale · Forza peso Competenze: Bilancio dei momenti · Scelta del polo · Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Corpo rigido · Asta