Corpo rigido ed equilibrio rotazionale

Finora abbiamo trattato oggetti puntiformi, in cui tutte le forze si applicano nello stesso punto. Ma un’asse, una trave o una scala hanno un’estensione, e le forze agiscono su punti diversi: questo apre la possibilità che il corpo ruoti anche quando il suo centro resta fermo. Serve quindi un modello più ricco.

Principio — Corpo rigido

Un corpo rigido è un oggetto esteso (non puntiforme) in cui la distanza tra ogni coppia di punti è fissa e immutabile nel tempo. Esempi: una sbarra d’acciaio, un libro chiuso, un mattone. Controesempi: una fune, un elastico, un gas.

Per un corpo rigido in equilibrio statico non basta che la somma delle forze sia nulla. Immaginiamo di spingere il bordo destro di un libro verso l’alto e il bordo sinistro verso il basso con due forze uguali e opposte: la risultante è zero, il centro del libro non trasla, eppure il libro si mette a ruotare. Per impedirlo occorre annullare anche la tendenza a far girare il corpo, cioè la somma dei momenti delle forze.

Principio — Equilibrio di un corpo rigido

Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se sono verificate entrambe le condizioni: $\begin{aligned} \sum_i \vv{F}_i = \vv{0} \quad \text{(equilibrio traslazionale)} \\ \sum_i M_i = 0 \quad \text{(equilibrio rotazionale, rispetto a un polo qualsiasi)} \end{aligned}$

Il momento (o torque) di una forza $\vv{F}$ rispetto a un polo $O$ misura la sua capacità di far ruotare il corpo attorno a quel polo, ed è

$M = \pm\,\abs{\vv{F}}\cdot b$

dove $b$ è la distanza dal polo alla retta su cui giace la forza, detta braccio. Il braccio non è la distanza dal punto di applicazione, ma dalla retta d’azione: una forza che punta dritto verso il polo ha braccio nullo e non fa ruotare nulla. Il segno è positivo se la forza tende a far ruotare in senso antiorario attorno al polo, negativo se in senso orario.

Scegli il polo furbamente

La seconda condizione vale rispetto a un polo qualsiasi: siamo liberi di scegliere quello che ci conviene. Un polo posto sul punto di applicazione di una forza ignota la elimina dall’equazione dei momenti, perché quella forza avrà braccio zero. Con una scelta accorta si può passare da tre incognite a una sola: la scelta del polo è libera ma decisiva per velocizzare i conti.

Il concetto di momento è centrale in gran parte della meccanica: lo ritroveremo e lo approfondiremo studiando il centro di massa dei corpi estesi e, più avanti, la dinamica delle rotazioni, dove i momenti governano non solo l’equilibrio ma anche il moto rotatorio vero e proprio.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Momento di una forza Competenze: Bilancio dei momenti · Scelta del polo Oggetti: Corpo rigido

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Sistema con due masse e puleggia · Esercizio svolto — Giostra quadrata · Esercizio svolto — Scala appoggiata a un muro liscio