Logaritmi — promemoria rapido

Prima di linearizzare una legge servono i logaritmi. Il logaritmo in base 10 di $x$, scritto $\log_{10} x$ (o semplicemente $\log x$), è l’esponente a cui va elevato 10 per ottenere $x$:

$\log_{10} x = y \iff 10^{y} = x$

Qualche valore da tenere a mente: $\log_{10} 100 = 2$, perché $10^2 = 100$; $\log_{10} 0{,}001 = -3$, perché $10^{-3} = 0{,}001$; e $\log_{10} 1 = 0$, perché $10^{0} = 1$. Il logaritmo cresce lentissimo: moltiplicare $x$ per $10$ aggiunge sempre e solo $1$ al logaritmo. È questa compressione delle scale che permette a un grafico logaritmico di far stare sullo stesso foglio numeri che vanno da $1$ a un milione.

Le tre proprietà fondamentali

$\log(AB) = \log A + \log B \qquad \log\!\left(\frac{A}{B}\right) = \log A - \log B \qquad \log A^{n} = n\,\log A$

L’intuizione è tutta qui: i logaritmi trasformano prodotti in somme e potenze in moltiplicazioni. Una relazione in cui compaiono prodotti e potenze — cioè quasi tutte le leggi fisiche non lineari — diventa, presa in logaritmo, una relazione fatta di sole somme e proporzionalità: cioè una retta. È esattamente questo che rende i logaritmi lo strumento naturale per riconoscere e misurare leggi esponenziali e leggi di potenza.

In pratica

Se in una formula vedi un prodotto o un esponente, prova a prenderne il logaritmo: quasi sempre la formula si “raddrizza” in qualcosa di lineare, molto più facile da leggere su un grafico.

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche

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