Problema — Batteri e grafico semilog

Testo

Hai una tabella $(t,\ N(t))$ in cui il numero $N$ di batteri raddoppia ogni ora. Traccia lo schema del grafico $(t, N)$ in scala lineare e in scala semilog (con $\log N$ in ordinata). Spiega, senza calcoli, perché nel secondo caso si ottiene una retta e come leggere il tempo di raddoppio dalla pendenza.

Soluzione

Legge di crescita. Se il numero raddoppia ogni tempo $T_2$ (qui $T_2 = 1$ h), la popolazione segue una legge esponenziale $N(t) = N_0 \cdot 2^{\,t/T_2}$

Scala lineare. Con entrambi gli assi lineari, la crescita esponenziale appare come una curva che sale sempre più ripidamente: all’inizio cresce piano, poi “esplode”. La forma è concava verso l’alto.

Scala semilog. Mettendo in ordinata $\log N$ (asse verticale logaritmico) e lasciando $t$ lineare, prendiamo il logaritmo della legge: $\log N = \log N_0 + \frac{t}{T_2}\,\log 2$ Questa è l’equazione di una retta nelle variabili $t$ e $\log N$: l’intercetta è $\log N_0$ e la pendenza è $m = \dfrac{\log 2}{T_2}$ (usando $\log_{10}$, $m = \log_{10} 2 / T_2$). Il motivo per cui si ottiene una retta è che il logaritmo trasforma la moltiplicazione ripetuta (raddoppi successivi) in addizione costante: a ogni ora $\log N$ aumenta sempre della stessa quantità $\log 2$, e incrementi costanti in tempi uguali danno una retta.

Lettura del tempo di raddoppio. Misurata la pendenza $m$ della retta sul grafico semilog, il tempo di raddoppio si ricava invertendo la relazione: $T_2 = \frac{\log_{10} 2}{m}$

Schemi. A sinistra la scala lineare (curva esponenziale), a destra la scala semilog (retta):

$\ev{\log N = \log N_0 + \dfrac{\log 2}{T_2}\,t \qquad\Rightarrow\qquad T_2 = \dfrac{\log_{10} 2}{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Lettura dei grafici