Legge esponenziale e grafico semilogaritmico

Una legge esponenziale ha la forma

$y = a\cdot k^{x}, \qquad k > 0,\ k \neq 1$

e descrive situazioni in cui, ad ogni incremento unitario di $x$, la quantità $y$ si moltiplica per un fattore fisso $k$. Se $k > 1$ la grandezza cresce (interesse composto, popolazione di batteri); se $k < 1$ diminuisce, perdendo ad ogni passo una percentuale fissa del valore corrente (decadimento radioattivo, altezza dei rimbalzi di una pallina). Per esempio $k = 0{,}87$ significa che ad ogni passo $y$ perde il $13\%$ di quanto vale in quel momento.

Linearizzazione: perché il semilog funziona

Il grafico semilogaritmico ha l’asse $y$ in scala logaritmica e l’asse $x$ in scala lineare. Il motivo per cui raddrizza le esponenziali si vede prendendo il $\log_{10}$ di entrambi i membri e usando le proprietà dei logaritmi (prodotto → somma, potenza → moltiplicazione):

$\underbrace{\log_{10}(y)}_{Y} = \underbrace{\log_{10}(a)}_{q} + x\cdot\underbrace{\log_{10}(k)}_{m}$

Nel piano $(x,\,\log_{10} y)$ questa è una retta $Y = q + mx$: la legge esponenziale, che sul grafico lineare era una curva, diventa una linea diritta. Se i punti sperimentali si allineano su un semilog, allora la legge è esponenziale — e viceversa.

Recupero dei parametri da un grafico semilog

$m = \frac{\Delta Y}{\Delta x} \;\Rightarrow\; k = 10^{m} \qquad\qquad q = Y\big|_{x=0} \;\Rightarrow\; a = 10^{q}$

Il segno della pendenza dice subito che tipo di esponenziale è: se $m < 0$ allora $k < 1$ e si tratta di un decadimento; se $m > 0$ allora $k > 1$ e si tratta di una crescita. La pendenza misura il tasso di variazione per passo, l’intercetta misura il valore di partenza $a = 10^{q}$.

L’applicazione tipica è l’esperienza della pallina rimbalzante: si misura l’altezza massima $h$ ad ogni rimbalzo, ci si aspetta $h = a\cdot k^{n}$ con $k < 1$, e dalla retta interpolante sul semilog si leggono sia la frazione di energia persa ($k$) sia l’altezza di partenza ($a$).

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

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