Legge di potenza e grafico bilogaritmico

Una legge di potenza ha la forma

$y = a\cdot x^{n}$

e descrive situazioni in cui $y$ scala come una potenza di $x$. Sono ovunque in fisica: la forza di gravità $F \propto 1/r^{2}$ (esponente $n = -2$), il periodo del pendolo $T \propto \sqrt{L}$ cioè $L^{1/2}$ (esponente $n = 1/2$), la distanza di frenata $d \propto v^{2}$ (esponente $n = 2$). L’esponente $n$ è la firma della legge: dirlo con precisione significa aver capito come una grandezza dipende dall’altra.

Linearizzazione: perché il log-log funziona

Il grafico bilogaritmico (log-log) ha entrambi gli assi in scala logaritmica. Prendendo il $\log_{10}$ dei due membri, la potenza diventa una moltiplicazione:

$\underbrace{\log_{10}(y)}_{Y} = \underbrace{\log_{10}(a)}_{q} + n\cdot\underbrace{\log_{10}(x)}_{X}$

Nel piano log-log $(X,\,Y)$ questa è una retta $Y = q + nX$. La differenza cruciale rispetto al semilog: qui la pendenza è l’esponente $n$ della legge di potenza. Basta misurare l’inclinazione della retta per leggere l’esponente, senza bisogno di conoscere nulla dei valori assoluti.

Recupero dei parametri da un grafico log-log

$n = \frac{\Delta\log_{10}(y)}{\Delta\log_{10}(x)} \quad(\text{pendenza} = \text{esponente}) \qquad a = 10^{\,q} \ \text{ con } q = \log_{10}(y)\big|_{x=1}$

Attenzione a non confondere i due strumenti: sul semilog una retta segnala un’esponenziale $y = a\,k^{x}$ (la variabile è all’esponente); sul log-log una retta segnala una legge di potenza $y = a\,x^{n}$ (la variabile è alla base). Sono diagnosi diverse per leggi diverse. Un’applicazione concreta è la misura di come il tempo totale di rimbalzo dipende dall’altezza di rilascio, dove il log-log rivela un esponente $n \approx 1/2$.

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

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