Esercizio svolto — Tempo totale di rimbalzo (bilog)

Testo

La teoria prevede che il tempo totale $t_\text{tot}$ impiegato da una pallina a smettere di rimbalzare, se lasciata cadere da un’altezza $h_0$, segua una legge di potenza: $t_\text{tot} = a\cdot h_0^{\,1/2}, \qquad a = \frac{\sqrt{8k/g}}{1-k} \approx 6{,}76\ \text{s}/\sqrt{\text{m}} \quad (k = 0{,}875)$ Si lascia cadere la pallina da cinque altezze diverse e si misura il tempo totale:

$h_0$ (m)	$t_\text{tot}$ (s)	$\log_{10} h_0$	$\log_{10} t_\text{tot}$
0{,}25	3{,}4	−0{,}60	0{,}53
0{,}50	4{,}6	−0{,}30	0{,}66
1{,}00	7{,}0	0{,}00	0{,}85
1{,}50	8{,}1	0{,}18	0{,}91
2{,}00	9{,}8	0{,}30	0{,}99

Verifica sul grafico bilogaritmico che l’esponente è $1/2$ e ricava $a$.

Soluzione

Impostazione. La legge attesa $t_\text{tot} = a\,h_0^{1/2}$ è una legge di potenza: sul grafico bilogaritmico (entrambi gli assi in scala logaritmica) diventa una retta la cui pendenza è proprio l’esponente. $\log_{10}(t_\text{tot}) = \log_{10}(a) + \tfrac{1}{2}\,\log_{10}(h_0)$

Pendenza = esponente. Prendo il primo e l’ultimo punto della quarta e terza colonna e calcolo la pendenza: $n = \frac{\Delta\log_{10} t}{\Delta\log_{10} h_0} = \frac{0{,}99 - 0{,}53}{0{,}30 - (-0{,}60)} = \frac{0{,}46}{0{,}90} \approx 0{,}51$ compatibile con il valore teorico $n = 1/2$.

Recupero di $a$. Il coefficiente $a$ si legge dove $h_0 = 1$ m, cioè $\log_{10} h_0 = 0$: lì il fit dà $\log_{10} t \approx 0{,}83$, quindi $a = 10^{0{,}83} \approx 6{,}8\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$ in ottimo accordo con il valore teorico $6{,}76\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$. $\ev{n \approx \tfrac{1}{2}, \qquad a \approx 6{,}8\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}}$

Interpretazione. Che la pendenza in log-log risulti $\approx 0{,}5$ conferma la dipendenza $t_\text{tot} \propto \sqrt{h_0}$: raddoppiare l’altezza di rilascio non raddoppia il tempo di rimbalzo, lo aumenta solo di un fattore $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Sul grafico log-log i cinque punti si allineano; la pendenza $\approx 0{,}5$ è l’esponente della legge di potenza $t_\text{tot} = 6{,}76\,h_0^{1/2}$.

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici