Moto circolare uniforme

Un moto è circolare quando la traiettoria è una circonferenza; è uniforme quando il modulo della velocità è costante. Anche se la velocità non cambia in modulo, cambia continuamente direzione: il corpo è dunque accelerato. Questa sezione introduce le grandezze che descrivono il moto circolare e l’accelerazione centripeta che lo mantiene; infine il moto circolare non uniforme, in cui compare anche un’accelerazione tangenziale.

• Periodo, frequenza e velocità angolare
• Velocità tangenziale e accelerazione centripeta
• Moto circolare non uniforme e accelerazione tangenziale

A motion is circular when the trajectory is a circle; it is uniform when the magnitude of the velocity is constant. Even though the velocity does not change in magnitude, its direction changes continuously: the body is therefore accelerated. This section introduces the quantities that describe circular motion and the centripetal acceleration that keeps it on the circle; finally, non-uniform circular motion, where a tangential acceleration also appears.

• Period, frequency and angular velocity
• Tangential velocity and centripetal acceleration
• Non-uniform circular motion and tangential acceleration

Quando un corpo percorre una traiettoria circolare di raggio $r$ a velocità costante in modulo, parliamo di moto circolare uniforme. Per descriverlo servono grandezze nuove, legate alla periodicità del moto.

Grandezze del moto circolare (periodicità)

• Periodo $T$: tempo per un giro completo (s);
• Frequenza $f = \dfrac{1}{T}$: numero di giri al secondo (Hz);
• Velocità angolare $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$: angolo spazzato per unità di tempo (rad/s).

Il periodo e la frequenza sono l’uno l’inverso dell’altra: se un giro dura $T = 0{,}5\;\text{s}$, allora in un secondo se ne compiono $f = 2$. La velocità angolare $\omega$ misura invece quanto rapidamente ruota il raggio che congiunge il corpo al centro: in un periodo completo il raggio spazza l’angolo giro $2\pi$, da cui $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$.

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Queste tre grandezze descrivono la “cadenza” del moto — quanto spesso il corpo ripassa per lo stesso punto — ma non ancora quanto velocemente si sposta lungo la circonferenza: per quello serve legare $\omega$ al raggio, come vedremo nel paragrafo successivo.

▶Il Sole NON sorge a Est! — Luca Perri

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When a body travels a circular trajectory of radius $r$ at constant speed, we speak of uniform circular motion. Describing it requires new quantities, linked to the periodicity of the motion.

Quantities of circular motion (periodicity)

• Period $T$: time for one complete revolution (s);
• Frequency $f = \dfrac{1}{T}$: number of revolutions per second (Hz);
• Angular velocity $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$: angle swept per unit time (rad/s).

Period and frequency are the inverse of one another: if a revolution takes $T = 0{,}5\;\text{s}$, then $f = 2$ revolutions occur in one second. Angular velocity $\omega$, instead, measures how quickly the radius joining the body to the centre rotates: in one complete period the radius sweeps out the full angle $2\pi$, hence $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$.

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

These three quantities describe the “cadence” of the motion — how often the body returns to the same point — but not yet how fast it moves along the circumference: for that we need to relate $\omega$ to the radius, as we will see in the next section.

▶The Sun does NOT rise in the East! — Luca Perri

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La velocità con cui il corpo percorre la circonferenza, la velocità tangenziale, si ottiene dalla velocità angolare moltiplicandola per il raggio. E poiché la direzione della velocità cambia di continuo, esiste un’accelerazione anche a modulo di velocità costante: l’accelerazione centripeta.

Formule chiave

$v = \omega\,r$ $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

L’accelerazione centripeta è sempre diretta verso il centro della traiettoria: è lei che “piega” il moto, impedendo al corpo di proseguire in linea retta. La velocità, invece, è sempre tangente alla circonferenza. Velocità e accelerazione centripeta sono dunque perpendicolari in ogni istante.

Moto circolare uniforme: la velocità $\vec{v}$ è tangente alla traiettoria, l’accelerazione centripeta $\vec{a}_c$ punta sempre verso il centro O.

Esempio — La lancetta dei secondi

Mettiamo un pallino blu a metà della lancetta dei secondi di un orologio e un pallino rosso sulla punta; la lancetta è lunga $3\;\text{m}$. Entrambi i pallini fanno un giro ogni $60\;\text{s}$, quindi hanno lo stesso periodo $T = 60\;\text{s}$ e la stessa velocità angolare: $\omega = \frac{2\pi}{60} = 0{,}105\;\text{rad/s}$ Ma il pallino rosso ($r = 3\;\text{m}$) ha velocità maggiore del blu ($r = 1{,}5\;\text{m}$): $v_{\text{rosso}} = \omega \cdot 3 = 0{,}314\;\text{m/s}, \qquad v_{\text{blu}} = \omega \cdot 1{,}5 = 0{,}157\;\text{m/s}$

Stesso $\omega$ non significa stessa velocità

Stesso periodo e stessa velocità angolare non implicano stessa velocità tangenziale! La velocità dipende dal raggio: più sei lontano dal centro, più vai veloce.

Il moto circolare uniforme sarà alla base della comprensione della forza centripeta, che si affronterà dopo aver introdotto le leggi di Newton.

▶Moto circolare — Physics Girl

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The speed at which the body travels around the circumference, the tangential velocity, is obtained from the angular velocity by multiplying it by the radius. And since the direction of the velocity is constantly changing, an acceleration exists even at constant speed: the centripetal acceleration.

Key formulae

$v = \omega\,r$ $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

Centripetal acceleration is always directed towards the centre of the trajectory: it is what “bends” the motion, preventing the body from continuing in a straight line. Velocity, on the other hand, is always tangent to the circumference. Velocity and centripetal acceleration are therefore perpendicular at every instant.

Uniform circular motion: the velocity $\vec{v}$ is tangent to the trajectory, the centripetal acceleration $\vec{a}_c$ always points towards the centre O.

Example — The seconds hand

Place a blue dot halfway along the seconds hand of a clock and a red dot at the tip; the hand is $3\;\text{m}$ long. Both dots complete one revolution every $60\;\text{s}$, so they have the same period $T = 60\;\text{s}$ and the same angular velocity: $\omega = \frac{2\pi}{60} = 0{,}105\;\text{rad/s}$ But the red dot ($r = 3\;\text{m}$) has a greater speed than the blue one ($r = 1{,}5\;\text{m}$): $v_{\text{rosso}} = \omega \cdot 3 = 0{,}314\;\text{m/s}, \qquad v_{\text{blu}} = \omega \cdot 1{,}5 = 0{,}157\;\text{m/s}$

Same $\omega$ does not mean same speed

Same period and same angular velocity do not imply the same tangential speed! Speed depends on the radius: the further you are from the centre, the faster you go.

Uniform circular motion will underpin the understanding of centripetal force, to be tackled after introducing Newton’s laws.

▶Circular Motion — Physics Girl

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Un’auto che esce da una rotonda accelerando, una ruota che parte da ferma, la centrifuga della lavatrice che rallenta: la traiettoria è ancora una circonferenza, ma il modulo della velocità cambia. È il moto circolare non uniforme. Rispetto al moto circolare uniforme compare una seconda accelerazione, tangente alla traiettoria.

In breve

Nel moto circolare non uniforme l’accelerazione ha due componenti perpendicolari: l’accelerazione tangenziale $a_t = \Delta v/\Delta t = \alpha\,r$, che cambia il modulo della velocità, e l’accelerazione centripeta $a_c = v^2/r = \omega^2 r$, che ne cambia la direzione. Il modulo dell’accelerazione totale è $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$. Se l’accelerazione angolare $\alpha$ è costante (moto circolare uniformemente accelerato) valgono le stesse leggi orarie del moto rettilineo uniformemente accelerato, con $\theta$, $\omega$, $\alpha$ al posto di $s$, $v$, $a$.

L’accelerazione angolare

Nel moto circolare uniforme la velocità angolare $\omega$ è costante. Se invece $\omega$ cambia nel tempo, definiamo l’accelerazione angolare:

Definizione — Accelerazione angolare

$\ev{\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}}$ Si misura in $\text{rad/s}^2$. $\alpha > 0$ se la rotazione accelera, $\alpha < 0$ se rallenta (prendendo positivo il verso in cui gira il corpo).

Due accelerazioni perpendicolari

Poiché $v = \omega r$ con $r$ costante, se $\omega$ cambia di $\Delta\omega$ il modulo della velocità cambia di $\Delta v = r\,\Delta\omega$. Dividendo per $\Delta t$:

Accelerazione tangenziale e centripeta

$\ev{a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \alpha\,r} \qquad\qquad \ev{a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r}$ $\ev{a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}}$

• $\vec a_t$ è tangente alla circonferenza: concorde con $\vec v$ se il corpo accelera, opposta se frena.
• $\vec a_c$ punta sempre verso il centro, come nel moto uniforme. La formula $a_c = v^2/r$ vale istante per istante con la velocità di quell’istante: siccome $v$ cambia, cambia anche $a_c$.

Le due componenti sono perpendicolari, quindi il modulo si trova con Pitagora. L’accelerazione totale non punta più verso il centro: forma con il raggio un angolo $\varphi$ con $\tan\varphi = a_t/a_c$.

Nel punto P: $\vec a_t$ tangente, $\vec a_c$ verso il centro O, e l’accelerazione totale $\vec a$ che forma l’angolo $\varphi$ con il raggio. Qui il moto sta accelerando, quindi $\vec a_t$ ha lo stesso verso di $\vec v$.

Non confondere le «tangenziali»

La velocità tangenziale $v = \omega r$ c’è anche nel moto uniforme. L’accelerazione tangenziale $a_t = \alpha r$ c’è solo se il modulo della velocità cambia: nel moto circolare uniforme $a_t = 0$ e resta solo $a_c$.

Il moto circolare uniformemente accelerato

Se $\alpha$ è costante, la velocità angolare cresce linearmente nel tempo, esattamente come $v$ nel moto rettilineo uniformemente accelerato. Il dizionario è $s \leftrightarrow \theta \qquad v \leftrightarrow \omega \qquad a \leftrightarrow \alpha$ e le leggi orarie si copiano:

Leggi del moto circolare uniformemente accelerato

$\ev{\omega = \omega_0 + \alpha\,t}$

$\ev{\theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac12\,\alpha\,t^2}$

$\ev{\omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\theta}$

Per passare alle grandezze lungo la circonferenza: $s = r\,\theta$, $v = r\,\omega$, $a_t = r\,\alpha$ (angoli in radianti).

Il numero di giri è $\Delta\theta/(2\pi)$. Attenzione: in questo moto $a_t$ è costante, ma $a_c$ no, perché cresce con $\omega^2$.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Auto che accelera in curva

Un’auto percorre una curva di raggio $r = 50$ m e, in modo uniforme, porta la velocità da $10$ m/s a $20$ m/s in $5{,}0$ s. Calcola, alla fine dei 5 s, l’accelerazione tangenziale, quella centripeta e quella totale.

Soluzione

• $a_t = \Delta v/\Delta t = (20-10)/5{,}0 = 2{,}0\ \text{m/s}^2$.
• $a_c = v^2/r = 20^2/50 = 8{,}0\ \text{m/s}^2$ (all’inizio era $10^2/50 = 2{,}0\ \text{m/s}^2$).
• $a = \sqrt{2{,}0^2 + 8{,}0^2} = \sqrt{68} \approx 8{,}2\ \text{m/s}^2$, inclinata di $\varphi = \arctan(2{,}0/8{,}0) \approx 14^\circ$ rispetto al raggio, in avanti.

Più l’auto va veloce, più cresce la componente centripeta. Siccome l’attrito delle gomme può dare solo un’accelerazione totale limitata, se in curva aggiungiamo anche $a_t$ il margine si riduce: per questo conviene accelerare soprattutto all’uscita della curva.

Esercizio 2 — Ruota che parte da ferma

Una ruota di raggio $r = 0{,}30$ m parte da ferma con accelerazione angolare costante $\alpha = 4{,}0\ \text{rad/s}^2$. Dopo $t = 2{,}0$ s calcola: (a) $\omega$ e il numero di giri; (b) velocità e accelerazioni di un punto sul bordo.

Soluzione

• (a) $\omega = \alpha t = 4{,}0\cdot 2{,}0 = 8{,}0$ rad/s; $\theta = \tfrac12\alpha t^2 = \tfrac12\cdot4{,}0\cdot(2{,}0)^2 = 8{,}0$ rad, cioè $8{,}0/(2\pi) \approx 1{,}3$ giri.
• (b) $v = \omega r = 8{,}0\cdot0{,}30 = 2{,}4$ m/s; $a_t = \alpha r = 1{,}2\ \text{m/s}^2$; $a_c = \omega^2 r = 64\cdot0{,}30 = 19{,}2\ \text{m/s}^2$; $a = \sqrt{1{,}2^2 + 19{,}2^2} \approx 19\ \text{m/s}^2$.

Già dopo due secondi la componente centripeta domina: l’accelerazione totale punta quasi verso il centro.

Esercizio 3 — Il ventilatore che si spegne

Le pale di un ventilatore girano a $\omega_0 = 30$ rad/s. Spento, il ventilatore si ferma in $10$ s con decelerazione costante. Quanto vale $\alpha$? Quanti giri compie prima di fermarsi?

Soluzione

• $\alpha = (0 - 30)/10 = -3{,}0\ \text{rad/s}^2$ (negativa: rallenta).
• Dalla legge senza tempo: $\Delta\theta = \dfrac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha} = \dfrac{0 - 900}{2\cdot(-3{,}0)} = 150$ rad, cioè $150/(2\pi) \approx 24$ giri.

Controllo con la velocità media: $\bar\omega = 15$ rad/s per $10$ s danno di nuovo $150$ rad.

Per sapere quale forza produce le due accelerazioni servono le leggi di Newton: la componente centripeta è prodotta dalla forza centripeta, quella tangenziale da una forza lungo la traiettoria (o, per un corpo esteso, da un momento).

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A car speeding up as it leaves a roundabout, a wheel starting from rest, a washing-machine drum slowing down: the path is still a circle, but the magnitude of the velocity changes. This is non-uniform circular motion. Compared with uniform circular motion, a second acceleration appears, tangent to the path.

In short

In non-uniform circular motion the acceleration has two perpendicular components: the tangential acceleration $a_t = \Delta v/\Delta t = \alpha\,r$, which changes the magnitude of the velocity, and the centripetal acceleration $a_c = v^2/r = \omega^2 r$, which changes its direction. The magnitude of the total acceleration is $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$. If the angular acceleration $\alpha$ is constant (uniformly accelerated circular motion), the same equations of motion hold as for uniformly accelerated straight-line motion, with $\theta$, $\omega$, $\alpha$ in place of $s$, $v$, $a$.

Angular acceleration

In uniform circular motion the angular velocity $\omega$ is constant. If instead $\omega$ changes over time, we define the angular acceleration:

Definition — Angular acceleration

$\ev{\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}}$ It is measured in $\text{rad/s}^2$. $\alpha > 0$ if the rotation speeds up, $\alpha < 0$ if it slows down (taking the direction of rotation as positive).

Two perpendicular accelerations

Since $v = \omega r$ with $r$ constant, if $\omega$ changes by $\Delta\omega$ the speed changes by $\Delta v = r\,\Delta\omega$. Dividing by $\Delta t$:

Tangential and centripetal acceleration

$\ev{a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \alpha\,r} \qquad\qquad \ev{a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r}$ $\ev{a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}}$

• $\vec a_t$ is tangent to the circle: in the same direction as $\vec v$ if the body speeds up, opposite if it slows down.
• $\vec a_c$ always points towards the centre, as in uniform motion. The formula $a_c = v^2/r$ holds instant by instant with the speed at that instant: since $v$ changes, $a_c$ changes too.

The two components are perpendicular, so the magnitude follows from Pythagoras. The total acceleration no longer points towards the centre: it makes an angle $\varphi$ with the radius, with $\tan\varphi = a_t/a_c$.

At point P: $\vec a_t$ is tangent, $\vec a_c$ points to the centre O, and the total acceleration $\vec a$ makes the angle $\varphi$ with the radius. Here the motion is speeding up, so $\vec a_t$ has the same direction as $\vec v$.

Don't mix up the two "tangentials"

The tangential velocity $v = \omega r$ exists in uniform motion too. The tangential acceleration $a_t = \alpha r$ exists only if the speed changes: in uniform circular motion $a_t = 0$ and only $a_c$ is left.

Uniformly accelerated circular motion

If $\alpha$ is constant, the angular velocity grows linearly with time, exactly like $v$ in uniformly accelerated straight-line motion. The dictionary is $s \leftrightarrow \theta \qquad v \leftrightarrow \omega \qquad a \leftrightarrow \alpha$ and the equations of motion carry over:

Equations of uniformly accelerated circular motion

$\ev{\omega = \omega_0 + \alpha\,t}$

$\ev{\theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac12\,\alpha\,t^2}$

$\ev{\omega^2 = \omega_0^2 + 2\,\alpha\,\Delta\theta}$

To go to quantities along the circle: $s = r\,\theta$, $v = r\,\omega$, $a_t = r\,\alpha$ (angles in radians).

The number of turns is $\Delta\theta/(2\pi)$. Careful: in this motion $a_t$ is constant, but $a_c$ is not, because it grows with $\omega^2$.

Worked examples

Example 1 — A car speeding up on a bend

A car goes round a bend of radius $r = 50$ m and uniformly increases its speed from $10$ m/s to $20$ m/s in $5.0$ s. At the end of the 5 s, find the tangential, centripetal and total acceleration.

Solution

• $a_t = \Delta v/\Delta t = (20-10)/5.0 = 2.0\ \text{m/s}^2$.
• $a_c = v^2/r = 20^2/50 = 8.0\ \text{m/s}^2$ (at the start it was $10^2/50 = 2.0\ \text{m/s}^2$).
• $a = \sqrt{2.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{68} \approx 8.2\ \text{m/s}^2$, tilted forward by $\varphi = \arctan(2.0/8.0) \approx 14^\circ$ from the radius.

The faster the car goes, the larger the centripetal part. Since tyre friction can only provide a limited total acceleration, adding $a_t$ in the bend eats into that margin: that is why it is better to accelerate mainly as you leave the bend.

Example 2 — A wheel starting from rest

A wheel of radius $r = 0.30$ m starts from rest with constant angular acceleration $\alpha = 4.0\ \text{rad/s}^2$. After $t = 2.0$ s find: (a) $\omega$ and the number of turns; (b) the speed and accelerations of a point on the rim.

Solution

• (a) $\omega = \alpha t = 4.0\cdot 2.0 = 8.0$ rad/s; $\theta = \tfrac12\alpha t^2 = \tfrac12\cdot4.0\cdot(2.0)^2 = 8.0$ rad, that is $8.0/(2\pi) \approx 1.3$ turns.
• (b) $v = \omega r = 8.0\cdot0.30 = 2.4$ m/s; $a_t = \alpha r = 1.2\ \text{m/s}^2$; $a_c = \omega^2 r = 64\cdot0.30 = 19.2\ \text{m/s}^2$; $a = \sqrt{1.2^2 + 19.2^2} \approx 19\ \text{m/s}^2$.

After only two seconds the centripetal part dominates: the total acceleration points almost towards the centre.

Example 3 — The fan that is switched off

A fan’s blades turn at $\omega_0 = 30$ rad/s. Once switched off, the fan stops in $10$ s with constant deceleration. What is $\alpha$? How many turns does it make before stopping?

Solution

• $\alpha = (0 - 30)/10 = -3.0\ \text{rad/s}^2$ (negative: it slows down).
• From the time-independent equation: $\Delta\theta = \dfrac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha} = \dfrac{0 - 900}{2\cdot(-3.0)} = 150$ rad, that is $150/(2\pi) \approx 24$ turns.

Check with the average angular velocity: $\bar\omega = 15$ rad/s for $10$ s gives $150$ rad again.

To know which force produces the two accelerations we need Newton’s laws: the centripetal component is produced by the centripetal force, the tangential one by a force along the path (or, for an extended body, by a torque).

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