Due auto al semaforo

Testo

Un’auto A passa per un semaforo verde con velocità costante $v_A = 20\;\mathrm{m/s}$. Nello stesso istante un’auto B, inizialmente ferma allo stesso semaforo, parte con accelerazione costante $a_B = 4{,}0\;\mathrm{m/s}^2$. Determina dopo quanto tempo B raggiunge A e in quale posizione. È una situazione realistica in un contesto urbano?

Soluzione

Impostazione. Poniamo l’origine al semaforo e facciamo partire il tempo dall’istante in cui A transita e B parte. Scriviamo le leggi orarie delle due auto misurando la posizione lungo la strada:

$x_A(t) = v_A\,t = 20\,t, \qquad x_B(t) = \tfrac{1}{2}\,a_B\,t^2 = 2\,t^2$

Condizione di incontro. B raggiunge A quando le due posizioni coincidono, $x_A = x_B$:

$20\,t = 2\,t^2 \quad \Rightarrow \quad 2\,t^2 - 20\,t = 0 \quad \Rightarrow \quad 2t\,(t - 10) = 0$

Le soluzioni sono $t = 0$ (l’istante di partenza, in cui sono affiancate al semaforo) e la soluzione fisicamente interessante:

$t = 10\;\mathrm{s}$

Posizione dell’incontro. Sostituendo in una delle due leggi orarie:

$d = x_A(10) = 20 \cdot 10 = 200\;\mathrm{m}$

Discussione di realismo. Al momento del sorpasso la velocità di B vale $v_B = a_B\,t = 4{,}0 \cdot 10 = 40\;\mathrm{m/s}$, cioè $40 \cdot 3{,}6 = 144\;\mathrm{km/h}$. Un’accelerazione di $4{,}0\;\mathrm{m/s}^2$ mantenuta per $10\;\mathrm{s}$ è irrealistica in città: nessun’auto normale sostiene tale accelerazione così a lungo, e comunque $144\;\mathrm{km/h}$ in un centro abitato è ben oltre i limiti. Il modello a accelerazione costante vale quindi solo per i primi istanti.

$\ev{\Delta t = 10\;\mathrm{s}, \quad d = 200\;\mathrm{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato