Due autobus

Testo

Due autobus. Un autobus è fermo a un semaforo; parte nell’istante in cui gli sfreccia accanto un altro autobus identico con velocità costante $v_0$. Il primo accelera uniformemente con $a > 0$ mentre il secondo prosegue inalterato. Tra i due, chi è più avanti subito dopo la partenza? Chi arriva prima a distanza molto grande? Esiste un istante in cui i due si ritrovano affiancati? Discuti qualitativamente, senza calcoli.

Soluzione

Conviene ragionare sulle due leggi orarie, con origine al semaforo e tempo che parte dall’istante del sorpasso: l’autobus che accelera avanza secondo $x_1 = \tfrac{1}{2} a t^2$, quello a velocità costante secondo $x_2 = v_0 t$.

Subito dopo la partenza. Per tempi piccoli il termine $\tfrac{1}{2} a t^2$ (che cresce come il quadrato del tempo) è trascurabile rispetto a $v_0 t$ (che cresce linearmente). Il primo autobus parte infatti da velocità nulla e ha bisogno di tempo per acquistare rapidità. Quindi subito è più avanti il secondo autobus, quello che viaggiava già a $v_0$.

A distanza molto grande. Con il passare del tempo il termine quadratico prevale su quello lineare: l’autobus che accelera aumenta continuamente la propria velocità e finisce inevitabilmente per superare l’altro. A lungo andare arriva prima il primo autobus, quello che accelera.

Istante di affiancamento. Poiché all’inizio è avanti il secondo e più tardi è avanti il primo, per continuità deve esistere un istante in cui i due si trovano di nuovo affiancati. Ponendo $x_1 = x_2$, cioè $\tfrac{1}{2} a t^2 = v_0 t$, si trova (oltre a $t = 0$) l’istante:

$t = \frac{2 v_0}{a}$

in cui il primo autobus raggiunge il secondo. Da quel momento in poi resta definitivamente in testa.

$\ev{\text{subito avanti il secondo; a lungo andare il primo; affiancati in } t = 2v_0/a}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato