Il gatto a due fasi

Testo

Un gatto al tempo $t = 5\;\text{s}$ ha velocità $7\;\text{m/s}$. Accelera fino a una velocità $V$ impiegando $3\;\text{s}$ e $10\;\text{m}$, quindi si ferma decelerando con $a = -1\;\text{m/s}^2$. Determinare tutti gli eventi.

Soluzione

Impostazione. Scegliamo l’asse orientato nel verso del moto, con origine delle posizioni nel punto in cui si trova il gatto all’istante iniziale ($s_A = 0$). Il moto ha due fasi e tre eventi (A, B, C). Riassumiamo i dati noti nella tabella degli eventi:

Evento	$t$ (s)	$s$ (m)	$v$ (m/s)	$a$ (m/s²)
A	$5$	$0$	$7$
B	$8$	$10$	$v_B$
C	$t_C$	$s_C$	$0$	$-1$

Tratto A$\to$B. Nel tratto la velocità media coincide con la media aritmetica delle velocità (moto uniformemente accelerato). Da $\dfrac{s_B - s_A}{t_B - t_A} = \dfrac{v_A + v_B}{2}$:

$\frac{10}{3} = \frac{7 + v_B}{2} \quad\Rightarrow\quad v_B = \frac{20}{3} - 7 = -\frac{1}{3}\;\text{m/s}$

Il risultato negativo mostra che il gatto stava in realtà rallentando: la velocità in B è diretta in verso opposto al moto iniziale. L’accelerazione nel tratto vale:

$a_{AB} = \frac{v_B - v_A}{t_B - t_A} = \frac{-\tfrac{1}{3} - 7}{3} = -\frac{22}{9} \approx -2{,}44\;\text{m/s}^2$

Tratto B$\to$C. Nell’ultima fase il gatto decelera con $|a| = 1\;\text{m/s}^2$ fino a fermarsi ($v_C = 0$). Il tempo necessario ad azzerare la velocità è $\Delta t = |v_B|/|a| = \tfrac{1}{3}\,\text{s}$, quindi:

$t_C = t_B + \frac{v_C - v_B}{a} = 8 + \frac{0 + \tfrac{1}{3}}{-1} = \frac{25}{3} \approx 8{,}33\;\text{s}$

$s_C = s_B + \frac{v_C^2 - v_B^2}{2a} = 10 + \frac{0 - \tfrac{1}{9}}{-2} = 10 + \frac{1}{18} = \frac{181}{18} \approx 10{,}06\;\text{m}$

$\ev{v_B = -\tfrac{1}{3}\;\mathrm{m/s}, \quad t_C = \tfrac{25}{3}\;\mathrm{s}, \quad s_C = \tfrac{181}{18}\;\mathrm{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato Competenze: Scelta degli assi