Velocità media metà e metà

Testo

Un’automobile percorre la prima metà di un viaggio a $50{,}0\;\text{km/h}$ e la seconda metà a $75{,}0\;\text{km/h}$. Qual è la velocità media sull’intero percorso? Spiega perché la risposta non è la media aritmetica delle due velocità.

Soluzione

Definizione corretta. La velocità media è lo spazio totale diviso il tempo totale, non la media delle due velocità. La differenza nasce dal fatto che l’auto impiega più tempo nel tratto lento che in quello veloce, quindi la velocità bassa “pesa” di più.

Impostazione. Sia $d$ la lunghezza totale del viaggio: ogni metà misura $d/2$. I tempi dei due tratti sono

$t_1 = \frac{d/2}{v_1} = \frac{d/2}{50{,}0}, \qquad t_2 = \frac{d/2}{v_2} = \frac{d/2}{75{,}0}$

Velocità media.

$\bar v = \frac{d}{t_1 + t_2} = \frac{d}{\dfrac{d/2}{50{,}0} + \dfrac{d/2}{75{,}0}} = \frac{1}{\dfrac{1}{2\cdot 50{,}0} + \dfrac{1}{2\cdot 75{,}0}}$

Il percorso $d$ si semplifica: il risultato non dipende dalla lunghezza del viaggio. Si riconosce la media armonica delle due velocità:

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\cdot 50{,}0\cdot 75{,}0}{50{,}0 + 75{,}0} = \frac{7500}{125} = 60{,}0\;\text{km/h}$

$\ev{\bar v = 60{,}0\;\mathrm{km/h}}$

Perché non la media aritmetica. La media aritmetica $(50{,}0 + 75{,}0)/2 = 62{,}5\;\text{km/h}$ sarebbe corretta solo se l’auto viaggiasse per uguali intervalli di tempo alle due velocità. Qui invece i tratti hanno uguale lunghezza, e a $50{,}0\;\text{km/h}$ si impiega più tempo che a $75{,}0\;\text{km/h}$: il tratto lento occupa una frazione maggiore del viaggio, quindi la velocità media reale ($60{,}0\;\text{km/h}$) è spostata verso il valore basso e risulta inferiore alla media aritmetica.

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Velocità media