Ranking tempi di caduta

Testo

Ranking: tempi di caduta. Quattro palline cadono nel vuoto da altezze: (A) $h = 0{,}5\;\text{m}$; (B) $h = 2\;\text{m}$; (C) $h = 5\;\text{m}$; (D) $h = 20\;\text{m}$. Ordina i tempi di caduta dal più breve al più lungo.

Soluzione

Per la caduta libera da ferma, il tempo dipende solo dall’altezza:

$h = \frac{1}{2}\,g\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Poiché $t$ cresce con $h$ (in modo monotòno), a maggiore altezza corrisponde maggiore tempo di caduta: l’ordine dei tempi segue l’ordine delle altezze. Calcoliamo i valori con $g \approx 9{,}81\;\mathrm{m/s^2}$:

$t_A = \sqrt{\tfrac{2 \cdot 0{,}5}{9{,}81}} \approx 0{,}32\;\mathrm{s}, \quad t_B = \sqrt{\tfrac{2 \cdot 2}{9{,}81}} \approx 0{,}64\;\mathrm{s}$

$t_C = \sqrt{\tfrac{2 \cdot 5}{9{,}81}} \approx 1{,}01\;\mathrm{s}, \quad t_D = \sqrt{\tfrac{2 \cdot 20}{9{,}81}} \approx 2{,}02\;\mathrm{s}$

Si noti che il tempo cresce solo come $\sqrt{h}$: quadruplicando l’altezza il tempo raddoppia. Ad esempio, passando da $B$ ($2\;\text{m}$) a $D$ ($20\;\text{m}$) l’altezza aumenta di $10$ volte, ma il tempo cresce solo di $\sqrt{10} \approx 3{,}2$ volte.

$\ev{A < B < C < D \quad (0{,}32 < 0{,}64 < 1{,}01 < 2{,}02\;\mathrm{s})}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Caduta libera Competenze: Ragionamento di ranking