Il tiro da tre punti

Testo

Un giocatore di basket tira da tre punti. La palla parte da un’altezza di $h_0 = 2{,}1\;\text{m}$ a una distanza orizzontale di $6{,}75\;\text{m}$ dal canestro, che si trova a $3{,}05\;\text{m}$ di altezza. L’accelerazione è $\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -9{,}81 \end{pmatrix}\;\text{m/s}^2$. Determinare la velocità iniziale necessaria, sapendo che la palla viene lanciata con un angolo di $55^\circ$ rispetto all’orizzontale.

Soluzione

Impostazione. Scegliamo l’origine nel punto di lancio e gli assi $x$ (orizzontale) e $y$ (verticale verso l’alto). Il moto parabolico si scompone in due moti indipendenti: uniforme lungo $x$, uniformemente accelerato lungo $y$ con $a_y = -9{,}81\;\text{m/s}^2$.

Scomponiamo la velocità iniziale con la trigonometria:

Evento A (lancio): $t_A = 0$, $\vec{S}_A = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}_A = \begin{pmatrix} v_0\cos 55^\circ \\ v_0\sin 55^\circ \end{pmatrix}$

Evento B (canestro): $\vec{S}_B = \begin{pmatrix} 6{,}75 \\ 0{,}95 \end{pmatrix}$, dove la quota è la differenza di altezza $3{,}05 - 2{,}10 = 0{,}95\;\text{m}$.

Le equazioni parametriche del moto tra A e B sono:

$\begin{cases} 6{,}75 = v_0\cos 55^\circ\cdot t_B \\ 0{,}95 = v_0\sin 55^\circ\cdot t_B - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}81\cdot t_B^2 \end{cases}$

Eliminazione del tempo. Dalla prima equazione ricaviamo l’istante di arrivo al canestro:

$t_B = \frac{6{,}75}{v_0\cos 55^\circ}$

Sostituendo nella seconda equazione. Osserviamo che nel primo termine $v_0\sin 55^\circ\cdot t_B = 6{,}75\cdot\tan 55^\circ$, mentre nel secondo termine compare $t_B^2$:

$0{,}95 = 6{,}75\,\tan 55^\circ - \frac{9{,}81}{2}\left(\frac{6{,}75}{v_0\cos 55^\circ}\right)^2$

Risoluzione. Con $\tan 55^\circ \approx 1{,}428$ e $\cos 55^\circ \approx 0{,}5736$, sviluppiamo i termini numerici:

$0{,}95 = 9{,}64 - 4{,}905\cdot\frac{45{,}56}{0{,}3290}\cdot\frac{1}{v_0^2} = 9{,}64 - \frac{679{,}3}{v_0^2}$

Isoliamo il termine con $v_0^2$ e risolviamo:

$\frac{679{,}3}{v_0^2} = 9{,}64 - 0{,}95 = 8{,}69 \quad\Rightarrow\quad v_0^2 = \frac{679{,}3}{8{,}69} \approx 78{,}2 \quad\Rightarrow\quad v_0 = \sqrt{78{,}2} \approx 8{,}84\;\text{m/s}$

$\ev{v_0 \approx 8{,}84\;\mathrm{m/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto parabolico Competenze: Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane