Esercizio svolto — Caduta con velocità iniziale

Testo

Una pietra viene lanciata verso l’alto da $h_0 = 10\;\text{m}$ con velocità $v_0 = 5\;\text{m/s}$. Calcola: (a) altezza massima sopra il suolo; (b) tempo totale di volo fino al suolo; (c) velocità all’impatto.

Soluzione

Scelta degli assi. Prendiamo l’asse $y$ verso l’alto con origine al suolo, così l’accelerazione è $a = -g$ e la legge oraria è:

$y(t) = h_0 + v_0\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2$

(a) Altezza massima. Nel punto più alto la velocità verticale si annulla, $\dot y = v_0 - g\,t = 0$, quindi $t^* = v_0/g$. Sostituendo:

$h_\text{max} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g} = 10 + \frac{25}{19{,}62} \approx 11{,}27\;\text{m}$

$\ev{h_\text{max} \approx 11{,}3\;\mathrm{m}}$

(b) Tempo totale di volo. Imponiamo $y(t) = 0$, cioè l’arrivo al suolo:

$4{,}905\,t^2 - 5\,t - 10 = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{5 + \sqrt{25 + 196{,}2}}{9{,}81} = \frac{5 + 14{,}87}{9{,}81}$

$\ev{t \approx 2{,}03\;\mathrm{s}}$

(si scarta la radice negativa, priva di senso fisico).

(c) Velocità d’impatto. Dalla legge della velocità $v = v_0 - g\,t$:

$v_\text{imp} = 5 - 9{,}81\cdot 2{,}03 \approx -14{,}9\;\text{m/s}$

$\ev{\abs{v_\text{imp}} \approx 14{,}9\;\mathrm{m/s}}$

Il segno negativo indica che al momento dell’impatto la pietra si muove verso il basso; il suo modulo è $14{,}9\;\text{m/s}$.

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Caduta libera Competenze: Scelta degli assi