Problema — Due auto sorpasso

Testo

Sintesi: due moti accoppiati. Due auto partono dalla stessa linea nello stesso istante. La prima parte da ferma con $a = 2\;\text{m/s}^2$; la seconda parte già alla velocità costante $v = 12\;\text{m/s}$. Quando e dove la prima sorpassa la seconda?

Soluzione

Leggi orarie. Scegliamo l’origine sulla linea di partenza. La prima auto è in moto uniformemente accelerato da ferma, la seconda in moto uniforme:

$x_1(t) = \frac{1}{2}\,a\,t^2 = t^2, \qquad x_2(t) = v\,t = 12\,t$

Condizione di sorpasso. Il sorpasso avviene quando le due posizioni coincidono, $x_1 = x_2$:

$t^2 = 12\,t \;\Rightarrow\; t\,(t - 12) = 0$

La soluzione $t = 0$ è la partenza comune; il sorpasso vero e proprio è l’altra:

$\ev{t = 12\;\mathrm{s}}$

Posizione del sorpasso. Sostituendo in una delle due leggi:

$x = 12\,t = 12 \cdot 12 = 144\;\text{m}$

$\ev{x = 144\;\mathrm{m}}$

Fino a $t = 12\;\text{s}$ la seconda auto è avanti; da lì in poi la prima, che continua ad accelerare, la supera definitivamente.

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato · Velocità media