Problema — Sfida salto sull'autobus

Testo

Sfida: salto sull’autobus. Un autobus parte da fermo con $a = 1{,}2\;\text{m/s}^2$. Sei a $8\;\text{m}$ dietro la porta e parti a correre. Qual è la velocità media minima per riuscire a prenderlo prima che la finestra di intercetto si chiuda? (Suggerimento: imponi il discriminante non negativo nell’equazione di intercetto.)

Soluzione

Impostazione. Poniamo l’origine sulla porta dell’autobus all’istante di partenza. La porta si muove di moto uniformemente accelerato, mentre tu corri a velocità media $\bar v$ partendo $8\;\text{m}$ indietro:

$x_\text{bus}(t) = \frac{1}{2}\,a\,t^2 = 0{,}6\,t^2, \qquad x_\text{tu}(t) = \bar v\,t - 8$

Condizione di intercetto. Raggiungi la porta quando $x_\text{tu} = x_\text{bus}$:

$\bar v\,t - 8 = 0{,}6\,t^2 \;\Rightarrow\; 0{,}6\,t^2 - \bar v\,t + 8 = 0$

Esistenza della soluzione. Perché esista un istante reale di incontro, il discriminante di questa equazione di secondo grado in $t$ deve essere non negativo:

$\Delta = \bar v^2 - 4\cdot 0{,}6\cdot 8 \geq 0 \;\Rightarrow\; \bar v^2 \geq 19{,}2$

Velocità minima. Il caso limite $\Delta = 0$ dà la velocità media più piccola con cui riesci ancora ad agganciare l’autobus (in un solo istante di tangenza):

$\bar v_\text{min} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38\;\text{m/s}$

$\ev{\bar v_\text{min} \approx 4{,}38\;\mathrm{m/s} \approx 15{,}8\;\mathrm{km/h}}$

Con velocità inferiore ($\Delta < 0$) non esiste alcun istante in cui raggiungi la porta: l’autobus, accelerando, ti sfugge per sempre. Quasi $16\;\text{km/h}$ è un’andatura da corsa sostenuta: prendere l’autobus al volo è più difficile di quanto sembri.

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato