Moto a tre tratti (grafici s, v, a)

Testo

Un oggetto si muove lungo una retta con la legge oraria rappresentata qualitativamente da tre tratti: (1) $0 \leq t \leq 2\;\mathrm{s}$, accelera da fermo con $a = 3\;\mathrm{m/s}^2$; (2) $2 < t \leq 5\;\mathrm{s}$, si muove con velocità costante; (3) $5 < t \leq 7\;\mathrm{s}$, decelera uniformemente fino a fermarsi. Disegna i grafici $s(t)$, $v(t)$, $a(t)$ e determina la velocità massima e lo spazio totale percorso.

Soluzione

Tratto 1 (accelerazione, $0 \leq t \leq 2\;\mathrm{s}$). Il corpo parte da fermo con accelerazione costante $a_1 = 3\;\mathrm{m/s}^2$. Al termine del tratto la velocità vale:

$v_\text{max} = a_1 \, t_1 = 3 \cdot 2 = 6\;\mathrm{m/s}$

Questa è la velocità massima raggiunta nell’intero moto. Lo spazio percorso è:

$s_1 = \tfrac{1}{2}\,a_1\,t_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 2^2 = 6\;\mathrm{m}$

Tratto 2 (velocità costante, $2 < t \leq 5\;\mathrm{s}$). La velocità resta $v_\text{max} = 6\;\mathrm{m/s}$ per una durata $\Delta t_2 = 3\;\mathrm{s}$, quindi l’accelerazione è nulla e:

$s_2 = v_\text{max}\,\Delta t_2 = 6 \cdot 3 = 18\;\mathrm{m}$

Tratto 3 (decelerazione, $5 < t \leq 7\;\mathrm{s}$). Il corpo passa da $6\;\mathrm{m/s}$ a $0$ in $\Delta t_3 = 2\;\mathrm{s}$, quindi la decelerazione è $a_3 = -6/2 = -3\;\mathrm{m/s}^2$. Lo spazio percorso, area del triangolo sotto la $v(t)$, vale:

$s_3 = \tfrac{1}{2}\,v_\text{max}\,\Delta t_3 = \tfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 2 = 6\;\mathrm{m}$

Andamento dei grafici.

• $a(t)$: costante e positiva ($+3\;\mathrm{m/s}^2$) da $0$ a $2\;\mathrm{s}$; nulla da $2$ a $5\;\mathrm{s}$; costante e negativa ($-3\;\mathrm{m/s}^2$) da $5$ a $7\;\mathrm{s}$. È una funzione a gradini.
• $v(t)$: retta crescente da $0$ a $6\;\mathrm{m/s}$ nel primo tratto; segmento orizzontale a $6\;\mathrm{m/s}$ nel secondo; retta decrescente da $6\;\mathrm{m/s}$ a $0$ nel terzo. Ha la forma di un trapezio.
• $s(t)$: parabola con concavità verso l’alto nel primo tratto; retta obliqua (pendenza costante) nel secondo; parabola con concavità verso il basso nel terzo, fino a raggiungere il valore finale con tangente orizzontale.

Spazio totale. Sommando i tre contributi (equivalente all’area del trapezio sotto la $v(t)$):

$s_\text{tot} = s_1 + s_2 + s_3 = 6 + 18 + 6 = 30\;\mathrm{m}$

$\ev{v_\text{max} = 6\;\mathrm{m/s}, \quad s_\text{tot} = 30\;\mathrm{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato Competenze: Lettura dei grafici