Pendolo conico

Testo

Una massa $m = 0{,}50\ \text{kg}$ è appesa a una fune di lunghezza $L = 1{,}0\ \text{m}$ e ruota in moto circolare orizzontale, con la fune che forma un angolo $\theta = 30^\circ$ con la verticale. Calcola la tensione della fune e la velocità tangenziale della massa.

Soluzione

La massa descrive una circonferenza orizzontale a velocità costante. Sono due le forze applicate: il peso $\vv{P}$ (verticale, verso il basso) e la tensione $\vv{T}$ (lungo la fune). La loro risultante deve essere orizzontale e diretta verso il centro, perché costituisce la forza centripeta.

Scomponiamo la tensione lungo la verticale e lungo l’orizzontale.

Equilibrio verticale. In verticale non c’è accelerazione, quindi la componente verticale della tensione bilancia il peso: $T\cos\theta = mg$

Da qui ricaviamo la tensione: $T = \frac{mg}{\cos\theta} = \frac{0{,}50 \cdot 9{,}81}{\cos 30^\circ} = \frac{4{,}905}{0{,}866}$

$\ev{T \approx 5{,}66\ \text{N}}$

Direzione orizzontale. La componente orizzontale della tensione fornisce la forza centripeta: $T\sin\theta = \frac{m v^2}{r}$

Il raggio della circonferenza è la proiezione orizzontale della fune: $r = L\sin\theta = 1{,}0 \cdot 0{,}500 = 0{,}50\ \text{m}$

Ricaviamo la velocità: $v^2 = \frac{T\sin\theta \cdot r}{m} = \frac{5{,}66 \cdot 0{,}500 \cdot 0{,}50}{0{,}50} = 2{,}83$

$\ev{v \approx 1{,}68\ \text{m/s}}$

Come verifica, si può ottenere la stessa velocità dividendo membro a membro le due equazioni: $\tan\theta = v^2/(g r)$, da cui $v = \sqrt{g\,r\tan\theta}$, coerente con il valore trovato.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Forza centripeta · Moto circolare uniforme · Tensione Competenze: Scomposizione vettoriale Oggetti: Pendolo conico