Le quattro equazioni del modello di Bohr

Una volta accettata la regola di quantizzazione del momento angolare, il modello di Bohr diventa un problema di meccanica del tutto risolubile. L’elettrone gira attorno al nucleo su un’orbita circolare, tenuto in traiettoria dall’attrazione elettrica del protone. Per trovare quali orbite sono permesse — cioè il raggio $r$ e la velocità $v$ a ogni livello — bastano quattro equazioni.

Principio — Le 4 equazioni dell'atomo di idrogeno

Per l’elettrone in un’orbita quantizzata dell’atomo di idrogeno:

1. Regola di quantizzazione: $m\,v\,r = n\,\hbar$
2. Moto circolare: $|a| = v^2/r$
3. Seconda legge di Newton: $\pq{F} = m\pq{a}$
4. Legge di Coulomb: $|F| = k\,e^2/r^2$

Sono 4 equazioni in 4 incognite ($r$, $v$, $F$, $a$).

Dove entra la meccanica quantistica?

Delle quattro equazioni, solo la prima è “nuova”. Le altre tre — moto circolare, Newton e Coulomb — sono pura fisica classica, le stesse che useremmo per un satellite o per una carica in un campo. La meccanica quantistica entra soltanto nella regola di quantizzazione, come un singolo ingrediente aggiunto a un mondo altrimenti classico. È la firma della “vecchia meccanica quantistica” di Bohr: una fisica classica quasi intatta, con un unico bullone quantizzato.

Risoluzione del sistema. Dalla regola di quantizzazione (1) si ricava la velocità, $v = n\hbar/(mr)$. La seconda legge di Newton (3) applicata al moto circolare impone che la forza di Coulomb (4) faccia da forza centripeta $mv^2/r$ (2):

$\frac{k\,e^2}{r^2} = m\cdot\frac{v^2}{r} = m\cdot\frac{n^2\hbar^2}{m^2 r^3}$

Risolvendo per $r$ si trova il raggio dell’orbita $n$-esima:

$\ev{r_n = \frac{n^2\,\hbar^2}{m\,e^2\,k}}$

Il raggio cresce come $n^2$: le orbite permesse non sono equispaziate, ma si allontanano sempre più dal nucleo. Per $n=1$ si ottiene la scala fondamentale dell’atomo, il raggio di Bohr:

$r_1 = \frac{\hbar^2}{m\,e^2\,k} \approx 5{,}29\cdot 10^{-11}\ \text{m} = 0{,}53\ \text{Å}$

circa mezzo ångström: è la “taglia” dell’atomo di idrogeno, e fissa l’ordine di grandezza di tutta la materia ordinaria. La velocità corrispondente è $v_n = e^2 k/(n\hbar)$, e diminuisce come $1/n$: gli elettroni nelle orbite esterne sono più lenti. Per il livello fondamentale si scrive $v_1 = \alpha\,c$, dove

$\alpha = \frac{e^2 k}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}$

è la costante di struttura fine, uno dei numeri più misteriosi della fisica: adimensionale, universale, con un valore che nessuno sa ancora spiegare “perché” è proprio quello.

Un elettrone all'1% della velocità della luce

La costante $\alpha \approx 1/137$ misura l’entità degli effetti relativistici atomici: poiché $v_1/c = \alpha \approx 1/137$, l’elettrone nello stato fondamentale dell’idrogeno viaggia a circa l’$1\%$ della velocità della luce — abbastanza lento da poter usare la meccanica non relativistica come ottima prima approssimazione.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr · Momento angolare · Legge di Coulomb · Forza centripeta · Moto circolare uniforme · Seconda legge di Newton Oggetti: Atomo di idrogeno

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