Piano inclinato liscio

Sul piano inclinato senza attrito agiscono solo due forze: il peso $\vec{P}$ e la reazione vincolare $\vec{R}$. Scomponendo lungo gli assi ruotati (vedi Scelta degli assi), la seconda legge di Newton $\vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}$ si spezza in due equazioni indipendenti:

$\begin{cases} -mg\sin\theta = ma \\ -mg\cos\theta + R = 0 \end{cases}$

Dalla prima equazione si ricava l’accelerazione lungo il piano, dalla seconda la reazione vincolare:

Formula chiave — Piano inclinato liscio

$a = g\sin\theta \qquad R = mg\cos\theta$

Due osservazioni fisiche importanti. La prima: l’accelerazione non dipende dalla massa. Tutti i corpi, pesanti o leggeri, scivolano su un piano liscio con la stessa accelerazione $g\sin\theta$ — esattamente come nella caduta libera, di cui il piano inclinato è una versione “diluita” (per $\theta = 90^\circ$ si ritrova $a = g$). La seconda: la reazione vincolare $R = mg\cos\theta$ bilancia solo la componente del peso premente contro il piano, ed è quindi minore del peso totale $mg$ (tranne quando $\theta = 0$).

Casi limite

Per $\theta \to 0$ il piano diventa orizzontale: $a \to 0$ e $R \to mg$ (il corpo sta fermo, la reazione regge tutto il peso). Per $\theta \to 90^\circ$ il piano diventa verticale: $a \to g$ (caduta libera) e $R \to 0$ (il piano non preme più).

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Forza peso · Forza normale Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Applicazione delle leggi di Newton Oggetti: Piano inclinato · Blocco

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