Scelta degli assi

Quando un corpo si trova su un piano inclinato di angolo $\theta$, la scelta più conveniente non è quella dei soliti assi orizzontale/verticale, ma quella di assi ruotati insieme al piano:

• asse $x$: lungo il piano, positivo verso l’alto (o verso il basso, a scelta);
• asse $y$: perpendicolare al piano, positivo verso l’esterno della superficie.

Il motivo è puramente pratico. Con assi “tilted” la reazione vincolare $\vec{R}$ ha una sola componente (tutta lungo $y$) e anche l’accelerazione ha una sola componente (tutta lungo $x$, perché il corpo non lascia il piano). L’unica forza che va scomposta è il peso, e i conti si semplificano enormemente.

Piano inclinato: gli assi $x$ e $y$ sono ruotati lungo il piano. Il peso $\vec{P}$ si scompone in una componente parallela ($mg\sin\theta$, che causa il moto) e una perpendicolare ($mg\cos\theta$, bilanciata da $\vec{R}$).

In questo sistema le componenti del peso diventano (con $x$ positivo verso l’alto):

$\vec{P} = \begin{pmatrix} -mg\sin\theta \\ -mg\cos\theta \end{pmatrix}$

mentre la reazione vincolare e l’accelerazione hanno una sola componente ciascuna:

$\vec{R} = \begin{pmatrix} 0 \\ R \end{pmatrix}, \qquad \vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$

Perché conviene ruotare gli assi

Con gli assi ruotati, la seconda legge di Newton si spezza in due equazioni disaccoppiate: una lungo il piano (che dà l’accelerazione) e una perpendicolare (che dà la reazione vincolare). Non compaiono mai componenti “miste”.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza peso · Forza normale Competenze: Scelta degli assi · Scomposizione sul piano inclinato · Diagramma di corpo libero Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Piano inclinato

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