Lo skater sul half-pipe

Testo

Lo skater sul half-pipe. Uno skater percorre un half-pipe liscio partendo da fermo dal bordo superiore. In che punto della discesa la sua accelerazione ha modulo massimo? Dove è puramente radiale? Dove è puramente tangenziale? Rispondi senza calcoli, ragionando sulla direzione della forza peso e sulla forma della traiettoria.

Soluzione

Le due componenti. Lungo una traiettoria curva l’accelerazione si scompone sempre in due parti:

• tangenziale $a_t$: cambia il modulo della velocità; è legata alla componente del peso lungo la traiettoria;
• radiale (centripeta) $a_c = v^2/r$: cambia la direzione della velocità; punta verso il centro di curvatura.

Al bordo superiore (partenza). Lo skater parte da fermo: $v = 0$, quindi $a_c = v^2/r = 0$. Lì la parete dell’half-pipe è (quasi) verticale, cioè tangente alla traiettoria: la forza peso, verticale, è tutta diretta lungo la traiettoria. L’accelerazione è dunque puramente tangenziale — massima capacità di “prendere velocità”, nessuna curvatura della velocità (che ancora non c’è).

$\ev{\text{In alto: } a \text{ puramente tangenziale } (v=0 \Rightarrow a_c=0)}$

Al fondo (punto più basso). Qui la traiettoria è orizzontale: la tangente è orizzontale e il raggio (verso il centro di curvatura) è verticale, verso l’alto. La forza peso è verticale, quindi non ha componente tangenziale: $a_t = 0$. Inoltre il fondo è il punto in cui la velocità $v$ è massima (lo skater ha “convertito” tutta la discesa in velocità) e il raggio di curvatura è piccolo, quindi $a_c = v^2/r$ è grande. L’accelerazione è puramente radiale (centripeta, verso l’alto) ed è lì che ha modulo massimo.

$\ev{\text{In basso: } a \text{ puramente radiale e massima } (a_t=0,\ v \text{ max})}$

In sintesi. Scendendo dal bordo, la componente tangenziale (che accelera lo skater) diminuisce mentre cresce la componente radiale (perché $v$ aumenta): l’accelerazione ruota gradualmente da “tutta tangenziale” in alto a “tutta radiale” e massima in fondo.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Accelerazione centripeta · Moto circolare uniforme · Forza peso Competenze: Scomposizione vettoriale · Diagramma di corpo libero Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero