La scatola di fiammiferi che accelera

Testo

La scatola di fiammiferi che accelera. Una scatola di fiammiferi di altezza $h$, larghezza $b$ e densità uniforme è in piedi su un tavolo che viene fatto accelerare orizzontalmente con accelerazione $a$. Il coefficiente di attrito statico tra scatola e tavolo è $\mu_s$. Per quale valore di $a$ la scatola comincia a slittare? Per quale valore comincia invece a ribaltarsi? Quale dei due fenomeni avviene per primo se $\mu_s > b/h$? Rielaborato da (Povey 2015, § 4.3).

Soluzione

Descriviamo la scatola nel riferimento (non inerziale) del tavolo: oltre al peso $mg$ (in basso) e alla normale $N$, compare la forza d’inerzia $ma$ orizzontale, applicata al centro di massa (a metà altezza, $h/2$, e a metà larghezza, $b/2$). L’attrito statico $f\le\mu_s N$ deve tenere ferma la scatola.

Soglia di slittamento. In verticale $N = mg$. La scatola non scivola finché l’attrito riesce a bilanciare la forza d’inerzia: $ma \le \mu_s N = \mu_s mg$. Comincia a slittare quando $\ev{a_\text{slitt} = \mu_s\,g}$

Soglia di ribaltamento. La scatola ribalta ruotando attorno allo spigolo “posteriore” (quello dal lato opposto all’accelerazione). Calcoliamo i momenti rispetto a quello spigolo:

• il peso $mg$ ha braccio $b/2$ e dà un momento stabilizzante $mg\cdot\dfrac{b}{2}$;
• la forza d’inerzia $ma$ ha braccio $h/2$ (altezza del centro di massa) e dà un momento ribaltante $ma\cdot\dfrac{h}{2}$.

Il ribaltamento inizia quando il momento ribaltante supera quello stabilizzante: $ma\cdot\frac{h}{2} > mg\cdot\frac{b}{2} \;\Rightarrow\; \ev{a_\text{ribalt} = \dfrac{b}{h}\,g}$

Quale avviene per primo. Avviene per primo il fenomeno con la soglia di accelerazione più bassa. Confrontiamo: $a_\text{slitt} = \mu_s g \qquad\text{vs}\qquad a_\text{ribalt} = \frac{b}{h}g$ Se $\mu_s > b/h$, allora $a_\text{slitt} > a_\text{ribalt}$: la soglia di ribaltamento è più bassa, quindi la scatola ribalta prima di slittare.

$\ev{\mu_s > b/h \;\Rightarrow\; \text{ribalta prima di slittare}}$

Interpretazione con l’altezza del centro di massa. La scatola slitta (anziché ribaltare) se $a_\text{slitt} < a_\text{ribalt}$, cioè $\mu_s g < \dfrac{b}{h}g \Rightarrow h < \dfrac{b}{\mu_s}$. Poiché il centro di massa di un corpo uniforme sta a $y = h/2$, la condizione diventa: la scatola slitta finché l’altezza del centro di massa non supera $\ev{y_\text{max} = \dfrac{b}{2\mu_s}}$ Oltre questa altezza (scatola troppo alta e stretta, o attrito troppo grande) prevale il ribaltamento. È il motivo per cui gli oggetti alti e sottili si rovesciano quando spingi il piano su cui poggiano, mentre quelli bassi e larghi scivolano.

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Argomenti: Dinamica · Attrito Concetti: Attrito statico · Seconda legge di Newton · Forza normale · Forza peso Competenze: Applicazione delle leggi di Newton · Diagramma di corpo libero · Impostazione simbolica Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Blocco