Piano liscio a 30 gradi

Testo

Una pallina scivola lungo un piano inclinato liscio di $\theta = 30^\circ$. Quali forze agiscono su di essa, e perché accelera meno di $g$?

Piano liscio: agiscono solo il peso $m\vec g$ e la reazione normale $\vec N$.

Soluzione

Le forze in gioco. Il piano è liscio, cioè privo di attrito. Sulla pallina agiscono quindi solo due forze: il peso $m\vec g$ (verticale, verso il basso) e la reazione normale $\vec N$ (perpendicolare al piano). Non c’è alcuna forza lungo il piano oltre alla componente del peso.

Scelta degli assi e scomposizione. Prendiamo $x$ lungo il piano (positivo verso il basso) e $y$ perpendicolare. Il peso si scompone in: $P_x = mg\sin\theta \qquad P_y = mg\cos\theta$

Direzione perpendicolare. La pallina non affonda né si stacca dal piano, quindi lungo $y$ c’è equilibrio: la reazione normale bilancia la componente premente del peso: $N = mg\cos\theta$

Direzione lungo il piano. L’unica forza motrice è $P_x$. La seconda legge dà: $ma = mg\sin\theta \;\Longrightarrow\; a = g\sin\theta$

Perché accelera meno di $g$. Solo la componente del peso parallela al piano tira in avanti la pallina; l’altra componente ($mg\cos\theta$) è annullata dal vincolo $\vec N$. Poiché $\sin\theta < 1$ per $\theta < 90^\circ$, l’accelerazione è ridotta: $a = g\sin 30^\circ = g\cdot\tfrac{1}{2} = \frac{9{,}81}{2} \approx 4{,}9\ \mathrm{m/s}^2$

$\ev{a = g\sin\theta = \frac{g}{2} \approx 4{,}9\ \mathrm{m/s}^2,\qquad N = mg\cos\theta}$

Solo con piano verticale ($\theta = 90^\circ$) si avrebbe $a = g$: la caduta libera.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza peso · Forza normale · Seconda legge di Newton Competenze: Scomposizione sul piano inclinato Metodi: Metodo del diagramma di corpo libero Oggetti: Piano inclinato