La macchina di Atwood

Testo

Un gatto ($6\;\text{kg}$) e una giraffa ($66\;\text{kg}$) sono collegati da una fune passante su una puleggia ideale. Trovare l’accelerazione e la tensione della fune.

Macchina di Atwood: il corpo pesante (giraffa) scende, quello leggero (gatto) sale; la tensione $\vec{t}$ è la stessa sui due rami della fune.

Soluzione

Dati. $m_g = 6\;\text{kg}$ (gatto, leggero), $m_G = 66\;\text{kg}$ (giraffa, pesante).

Vincoli. Fune e puleggia ideali: stessa tensione $t$ sui due rami e stesso modulo di accelerazione $a$. Il corpo pesante scende, il leggero sale.

Corpo leggero (gatto, sale) — asse verso l’alto positivo: $-m_g g + t = m_g a \quad\Rightarrow\quad -58{,}9 + t = 6a$ con $m_g g = 6 \cdot 9{,}81 = 58{,}9\;\text{N}$.

Corpo pesante (giraffa, scende) — stesso asse verso l’alto, accelerazione $-a$: $-m_G g + t = -m_G a \quad\Rightarrow\quad -647 + t = -66a$ con $m_G g = 66 \cdot 9{,}81 = 647\;\text{N}$.

Sottraendo la prima dalla seconda (la tensione si elimina): $-647 + 58{,}9 = -72a \quad\Rightarrow\quad -588 = -72a \quad\Rightarrow\quad a = 8{,}2\;\text{m/s}^2$

Tensione (dalla prima equazione): $t = 58{,}9 + 6 \cdot 8{,}2 = 58{,}9 + 49{,}2 = 108\;\text{N}$

Risultato. $\ev{a = \frac{m_G - m_g}{m_G + m_g}\,g = 8{,}2\;\text{m/s}^2, \qquad t \approx 108\;\text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione · Forza peso Competenze: Applicazione delle leggi di Newton · Diagramma di corpo libero Oggetti: Macchina di Atwood · Puleggia · Fune ideale