Sciatore a velocità limite

Testo

Spiega perché uno sciatore raggiunge una velocità limite su una pista a pendenza costante. Identifica le forze in gioco e indica come stimare l’ordine di grandezza di $v_\text{lim}$.

Lungo il pendio la componente del peso spinge in avanti; attrito e resistenza dell’aria si oppongono, quest’ultima crescente con la velocità.

Soluzione

Forze in gioco. Sullo sciatore agiscono:

• la componente del peso lungo il pendio, $mg\sin\theta$, che lo accelera in discesa (motrice, costante);
• l’attrito dinamico neve-sci, $F_a = \mu_d N = \mu_d\, mg\cos\theta$, opposto al moto (all’incirca costante);
• la resistenza dell’aria $F_\text{aria} = \tfrac{1}{2}\rho\, C_d\, A\, v^2$, opposta al moto e crescente con il quadrato della velocità.

Perché esiste una velocità limite. A bassa velocità la resistenza dell’aria è trascurabile e lo sciatore accelera con $a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$ (accelerazione positiva finché $\mu_d < \tan\theta$). Man mano che $v$ cresce, il termine $\propto v^2$ diventa sempre più importante finché la somma delle forze frenanti eguaglia la forza motrice: il risultante si annulla, l’accelerazione va a zero e la velocità resta costante. Questo valore è la velocità limite (moto a regime).

Stima di $v_\text{lim}$. All’equilibrio la componente parallela del peso bilancia attrito più aria: $mg\sin\theta = \mu_d\, mg\cos\theta + \tfrac{1}{2}\rho\, C_d\, A\, v_\text{lim}^2$ Isolando: $v_\text{lim} = \sqrt{\frac{2mg(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)}{\rho\, C_d\, A}}$ Con valori tipici ($m \sim 70\;\mathrm{kg}$, $\theta \sim 25^\circ$, $\mu_d \sim 0{,}05$, $\rho \approx 1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}$, $C_d A \sim 0{,}3$–$0{,}5\;\mathrm{m^2}$) si ottiene un ordine di grandezza di alcune decine di metri al secondo, cioè: $\ev{v_\text{lim} \sim 50\text{--}100\;\mathrm{km/h}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica · Attrito Concetti: Forza peso · Attrito dinamico Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Stime di Fermi Oggetti: Piano inclinato