Modulo contro vettore

Testo

In moto circolare uniforme il modulo $\abs{v}(t)$ è costante mentre il vettore $\vv v(t)$ nel piano descrive un cerchio. Schizza i due grafici e discuti perché “modulo costante” non significa “accelerazione nulla”.

Soluzione

Grafico del modulo $\abs{v}(t)$. In moto circolare uniforme il modulo della velocità non cambia mai: nel piano $\abs{v}$–$t$ si ottiene una retta orizzontale all’altezza $\abs{v} = \omega R$, costante nel tempo.

Grafico del vettore $\vv v(t)$. Se disegniamo il vettore velocità nel “piano delle velocità” ($v_x$, $v_y$), la sua punta descrive una circonferenza di raggio $\abs{v}$: le componenti oscillano come $\vv v(t) = \big(-\omega R \sin(\omega t),\; \omega R \cos(\omega t)\big)$ Il modulo resta costante, ma la direzione ruota continuamente.

Perché l’accelerazione non è nulla. L’accelerazione è la derivata del vettore velocità, non del suo modulo: $\vv a = \frac{\dd \vv v}{\dd t}$ Anche se $\abs{v}$ è costante, $\vv v$ cambia direzione, quindi $\dd\vv v/\dd t \ne 0$. Derivando si trova che $\vv a$ è perpendicolare a $\vv v$ (punta verso il centro) e ha modulo $\abs{a} = \omega\,\abs{v} = \frac{\abs{v}^2}{R} = \omega^2 R$ Questa è proprio l’accelerazione centripeta. Morale: “velocità costante” in senso scalare (modulo) non implica velocità vettoriale costante; è il cambiamento di direzione a generare l’accelerazione.

$\ev{\abs{v}\text{ costante (retta orizzontale)}; \quad \vv v(t)\text{ percorre un cerchio}; \quad \frac{\dd\vv v}{\dd t} \perp \vv v,\; \abs{a} = \omega\abs{v}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Moto circolare uniforme · Accelerazione centripeta · Velocità angolare Competenze: Scomposizione vettoriale