Forze sul piano al variare dell'angolo

Testo

Traccia $F_\parallel(\theta)$ (componente lungo il piano) e $F_\perp(\theta)$ (componente normale) della forza peso, per $\theta \in [0^\circ, 90^\circ]$. Individua il punto di intersezione e commenta il significato fisico.

Soluzione

Scomponendo il peso $mg$ rispetto a un piano inclinato di angolo $\theta$, le due componenti sono: $F_\parallel(\theta) = mg\sin\theta, \qquad F_\perp(\theta) = mg\cos\theta$

Andamento di $F_\parallel = mg\sin\theta$. Parte da $0$ per $\theta = 0^\circ$ (piano orizzontale: nessuna componente motrice) e cresce monotona fino a $mg$ per $\theta = 90^\circ$ (piano verticale: tutto il peso spinge lungo il piano). È una curva sinusoidale crescente.

Andamento di $F_\perp = mg\cos\theta$. Parte da $mg$ per $\theta = 0^\circ$ (piano orizzontale: tutto il peso preme sul piano) e decresce fino a $0$ per $\theta = 90^\circ$. È una curva cosinusoidale decrescente.

Punto di intersezione. Le due curve si incontrano dove $\sin\theta = \cos\theta$, cioè: $\tan\theta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 45^\circ$ In quel punto valgono entrambe: $F_\parallel = F_\perp = mg\sin 45^\circ = \frac{mg}{\sqrt 2} \approx 0{,}707\, mg$

Significato fisico. A $45^\circ$ la spinta lungo il pendio e la pressione normale sul piano sono uguali: metà “energia geometrica” del peso va in ciascuna direzione. Per $\theta < 45^\circ$ domina la componente normale (il piano è poco inclinato, tiene bene il corpo); per $\theta > 45^\circ$ domina la componente parallela (il corpo tende fortemente a scivolare).

$\ev{F_\parallel = mg\sin\theta \nearrow,\; F_\perp = mg\cos\theta \searrow; \; \text{incrocio a } \theta = 45^\circ,\; F_\parallel = F_\perp = \tfrac{mg}{\sqrt 2}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza peso Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Uso della trigonometria Oggetti: Piano inclinato